完數

完美數又稱爲完全數,最初是由畢達哥拉斯(Pythagoras)的信徒發現的,他們注意到,數6有一個特性,它等於它自己的因子(不包括它自身)的和:
             6=1+2+3,下一個具有同樣性質的數是28,28=1+2+4+7+14
    接着是496和8128.他們稱這類數爲完美數.歐幾里德在大約公元前350-300年間證明了:

       若2ⁿ-1是素數,則數

                2^n-1[2ⁿ-1]                                                                         (1)

       是完全數.

    兩千年後,歐拉證明每個偶完全數都具有這種形式.這就在完全數與梅森數之間建立了緊密的聯繫,到1999年6月1日爲止,共發現了38個梅森素數,這就是說已發現了38個完全數.
    完全數是非常奇特的數,它們有一些特殊性質,例如每個完全數都是三角形數,即都能寫成n(n+1)/2.

             6=1+2+3=3*4/2
            28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2
           496=1+2+3+4+...+31=31*32/2
             ....
    2^n-1(2ⁿ-1)=1+2+3+...+(2ⁿ-1)=(2ⁿ-1)2ⁿ/2

    把它們(6除外)的各位數字相加,直到變成一位數,那麼這個一位數一定是1;它們都是連續奇數的立方和(6除外),

            2²(2³-1)=28=1³+3³
           2⁴(2⁵-1)=496=1³+3³+5³+7³
          2⁶(2⁷-1)=8128=1³+3³+5³+7³+9³+11³+13³+15³
             ....
        2^n-1(2ⁿ-1)=1³+3³+5³+...+(2^(n+1)/2-1)³

    除了因子1之外,每個完全數的所有因子(包括自身)的到數和等於1,比如:

                 1/2+1/3+1/6=1
          1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1
             ....

    完全數都是以6或8結尾的,如果以8結尾,那麼就肯定是以28結尾,看看它們的二進制表達式吧:

                  110
                  11100
                  111110000
                  1111111000000
             ....

    數論裏有一個著名的函數σ(n),表示自然數n的所有因子之和,包括因子n本身在內.於是利用σ(n),完全數可以定義爲使得σ(n)=2n的數.我們來推導一下完全數的表達式.

   假設n=p₁^a1p₂^a2...p_n^an 是n的標準素因子分解式.那麼n的所有因子之和是如下式子的乘積

          σ(n)=(1+p₁+p₁²+...+p₁^a1)(1+p₂+p₂²+...+p₂^a2)...(1+p_n+p_n²+...+p_n^an)

   而這個乘積就是如下式子:

          σ(n)=(p₁^a1+1-1)/(p₁-1)(p₂^a2+1-1)/(p₂-1)...(p_n^an+1-1)/(p_n-1)     (2)

   設偶完全數 n=2^aq,這裏q表示奇素數乘冪之積.設s是q的一切除數之和,也包括q本身在內,而d只是表示它的真除數之和,所以 s=q+d,有公式(2)知道,2^a的一切除數之和爲(2^a+1-1)/(2-1)=(2^a+1-1).因此n的全部除數之和等於s(2^a+1-1),而有完全數的定義,知道這個和數應該等於2n,即有:

         2n=2^a+1q=s(2^a+1-1)=(q+d)(2^a+1-1)

   化簡得到:

         (2^a+1-1)=q/d

   這意味着d是q的一個真除數,但是前面又知道d是q的一切真除數之和,因而d只能是q的唯一的真除數,於是d的唯一可能值是1,而若一個數的真除數之和爲1,則該數必然是一個素數,所以q=(2^a+1-1)是一個素數,最後得到 n=2^aq=2^a(2^a+1-1).這就是偶完全數的表達式,即公式(1).

     注意以上談到的完全數都是偶完全數,至今仍然不知道有沒有奇完全數,如果真的存在奇完全數,那麼必須滿足如下這些條件:

1. N必須是一個形如12n+1,或9(4k+1)的數.
2. N至少要有6個不同的素數因子.
3. N必須具有p^4x+1q₁^2a1q₂^2a2...q_n^2an的形式,這裏p=4k+1
4. 3中還要限制爲:如果除了第一個以外,所有的a等於1,則a1不能等於2;除了第一,第二個以外所有的a都等於1,則前面兩個a1,a2不能等於2.
5. 如果所有的a都等於2,則N不可能是完全數.
6. 若所有的q的指數都遞增1,則由此得出的指數不能有9,15,21或33作爲公共除數.
7. 若p的指數4x+1等於5,則所有的a都不能等於1或2.
8. 若N不能被3整除,則它至少要有9個不同的素因子;若N不能被21整除,則它至少要有11個不同的素除數;若它不能被15整除,它至少要有14個不同的素數除數;若它不能被105整除,則它至少要有27個這樣的除數,這就要求N至少大於10⁴⁴.
9. 若N正好有r個不同的素數除數,則最小的一個應該小於r+1.例如若N(假設它存在的話)有28個不同的素數除數,則最小的一個不應大於29.

   已經有人證明如果存在的話,將大於10^100.
下表是前18個完全數.

完全數Pp ## p Mp的位數 Pp的位數 年代 發現者 6 1 2 1 1 ---- ---- 28 2 3 1 2 ---- ---- 496 3 5 2 3 ---- ---- 8128 4 7 3 4 ---- ---- 33550336 5 13 4 8 1456 anonymous 8589869056 6 17 6 10 1588 Cataldi 137438691328 7 19 6 12 1588 Cataldi 2305843008139952128 8 31 10 19 1772 Euler 9 61 19 37 1883 Pervushin 10 89 27 54 1911 Powers 11 107 33 65 1914 Powers 12 127 39 77 1876 Lucas 13 521 157 314 1952 Robinson 14 607 183 366 1952 Robinson 15 1279 386 770 1952 Robinson 16 2203 664 1327 1952 Robinson 17 2281 687 1373 1952 Robinson 18 3217 969 1937 1957 Riesel