For non-negative integers m and n and a prime p, the following congruence relation holds:
where
and
are the base p expansions of m and n respectively.
首先我們注意到 n=(ak...a2,a1,a0)p = (ak...a2,a1)p * p + a0
= [n/p]*p+a0
且m=[m/p]+b0
只要我們更夠證明 C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0) (mod p)
剩下的工作由歸納法即可完成
我們知道對任意質數p: (1+x)^p == 1+(x^p) (mod p)
注意!這裏一定要是質數 ................(爲什麼)
對 模p 而言
上式左右兩邊的x^m的係數對模p而言一定同餘(爲什麼),其中左邊的x^m的係數是 C(n,m) 而由於a0和b0都小於p
右邊的x^m ( = x^(([m/p]*p)+b0)) 一定是由 x^([m/p]*p) 和 x^b0 相乘而得 (即發生於 i=[m/p] , j=b0 時) 因此我們就有了
C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0) (mod p)
