Baby-step giant-step

原創

huicpc0207

2020-02-20 16:37

轉自：http://qinz.maybe.im/?p=50398

不知道爲什麼這算法會有這麼詭異的名字，比“舞蹈鏈”（Dancing link）還詭異。但話說回來，這算法確實是我數論學習上的Baby-step giant-step，另外發現自己似乎很久沒寫月志了，就寫篇紀念下吧~（其實算是Wikipedia上這篇文章的簡單翻譯-_-b）

定理的條件：m爲質數　　

衆所周知， $a^b \equiv c \pmod m$ ，其中m爲質數，式中已知a、b、m求c很方便，用快速模取幕可以在 $O(\log_2 m)$ 的時間複雜度求出來。但如果已知a、c、m求b就不是那麼容易求了，簡單地枚舉需要 $O(m)$ 的時間，但在競賽中這時間複雜度基本不可能通過。而Baby-step giant-step算法利用 $b=in+j \,,n=\lceil \sqrt{m} \rceil \,,0 \leq i < m \,,0 \leq j < m$ 把 $a^b \equiv c \pmod m$ 轉化爲 $c(a^{-n})^i \equiv a^j \pmod m$ ，利用Hash（或者二分查找）很強勢地使時間複雜度降到了 $O(\sqrt m)$ ，這種時間複雜度下對於 $m<2^{32}$ 的數據範圍來說是綽綽有餘的。下面就來介紹下這種神奇又簡單的算法（如果m是個合數的話還有一種更快的算法叫Pohlig-Hellman algorithm，大致思路是把合數分解再用中國剩餘定理合併起來，本文不作討論）：