2019牛客暑期多校訓練營（第三場）----I-Median

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鏈接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/883/I
來源：牛客網
涉及：思維，動態規劃

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題目如下：


可以看出 $a[1]$ 是可以取 $a[1], a[2],a[3]$ 的中位數，$a[n]$ 可以取 $a[n-2],a[n-1],a[n]$ 的中位數，這樣子是不會影響中位數的取值。

首先可以證明 $a$ 數組內的數可以都是由 $b$ 數組內的數構成，爲什麼說是可以而不是一定？我們假設 $a$ 數組內存在某一個數 $b$ 數組內沒有，假設這個數爲 $a[i]$，如下圖所示

其中 $a[i-1],a[i],a[i+1]$ 的中位數爲 $b[i+1]$ ;
   $a[i],a[i+1],a[i+2]$ 的中位數爲 $b[i+2]$ ;
   $a[i+1],a[i+2],a[i+3]$ 的中位數爲 $b[i+3]$ ;

也就是說 $a[i]$ 同時影響着 $b[i],b[i+1],b[i+2]$ ，那麼 $a[i]$ 的可能和 $b[i],b[i+1],b[i+2]$ 中的某個值相同。

但是現在假設 $a[i]$ 與 $b[i],b[i+1],b[i+2]$ 都不同，那麼 $a[i]$ 只可能是大於等於 $b[i],b[i+1],b[i+2]$ 的最大值，或者小於等於 $b[i],b[i+1],b[i+2]$ 的最小值。假設 $a[i]$ 大於等於 $b[i],b[i+1],b[i+2]$ 的最大值，那麼 $a[i]$ 完全可以取 $b[i],b[i+1],b[i+2]$ 中的最大值，這樣的話與假設相反，也就是說 $a$ 數組內的數完全可以都是由 $b$ 數組內的數構成。

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知道 $a$ 數組內的數是由 $b$ 數組內的數構成。

那麼可以確定每一個 $a[i]$ 的取值可以爲 $b[i],b[i+1],b[i+2]$ 中的一個，用一個 $can[i][3]$ 數組來存每一個 $a[i]$ 可能取的三個值。

由於 $a[1]$ 是可以取 $a[1], a[2],a[3]$ 的中位數，$a[n]$ 可以取 $a[n-2],a[n-1],a[n]$ 的中位數，可以按下面的方式處理

for(int i = 3; i <= n; i++){
	scanf("%d", &b[i]);//b[i] 表示 a[i-2],a[i-1],a[i] 的中位數，a[i] 影響着 b[i],b[i+1],b[i+2]
}
b[1] = b[2] = b[3];
b[n+2] = b[n+1] = b[n];
for(int i = 1; i <= n; i++){
	can[i][1] = b[i];
	can[i][2] = b[i+1];
	can[i][3] = b[i+2];
}

這樣子很明顯 $can[1][1]=can[1][2]=can[1][3]$，$can[n][1]=can[n][2]=can[n][3]$，表示 $a[1]$ 和 $a[n]$ 的取值已經確定了。

有了這種關係，就可以開始dp了。
設 $dp[i][j][k]=1$ 表示 $a[i]$ 取 $can[i][j]$ , $a[i-1]$ 取 $can[i-1][k]$ 可以成立，否則表示不成立。很明顯 $1\le i\le n,\ \ 1\le j,k\le 3$

探討 $dp[i][j][k]$ 成立的條件：
1.先討論滿足 $a[i-1]$ 取 $can[i-1][k]$ 成立的條件，那肯定得存在 $l(1\le l\le3)$，使得 $dp[i-1][k][l]$成立，即 $a[i-1]$ 取 $can[i-1][k]$，$a[i-2]$ 取 $can[i-2][l]$ 成立。

2.在討論滿足 $a[i]$ 取 $can[i][j]$ 成立的條件，此時 $a[i-1]$ 取 $can[i-1][k]$ 已經成立，那麼只要滿足 $mid(can[i-2][l], can[i-1][k], can[i][j]) == b[i]$
即 $can[i-2][l], can[i-1][k], can[i][j]$ 的中位數爲 $b[i]$

那麼最後只要存在任意的 $j,k$ ，使得 $dp[n][j][k]=1$ 就說明存在這樣的 $a$ 序列。

int now, last;//表示dp[n][now][last]=1
bool isfind = false;//判斷是否找到這樣的dp[n][j][k]成立
for(int i = 1; i <= 3; i++){
	for(int j = 1; j <= 3 && !isfind; j++){
		if(dp[n][i][j]){
			isfind = true;
			now = i;
			last = j;
		}
	}
}
if(!isfind){
	cout << "-1" << endl;
	continue;
}

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同時，還需要一個數組 $pre[i][j][k]$ ，$pre[i][j][k] = l$ 表示當 $pre[i][j][k]$ 成立時，$dp[i-1][k][l]$ 也成立，這個數組用來回溯結果，從而得到 $a$ 序列的值。

for(int i = 3; i <= n; i++){//dp全過程
	for(int j = 1; j <= 3; j++){
		for(int k = 1; k <= 3; k++){
			for(int l = 1; l <= 3; l++){
				if(dp[i-1][k][l] && mid(can[i-2][l], can[i-1][k], can[i][j]) == b[i]){
					dp[i][j][k] = 1;
					pre[i][j][k] = l;
				}
			}
		}
	}
}

回溯得到 $a$ 序列的過程（代碼中顯示的是ans序列）

for(int i = n; i >= 2; i--){
	ans[i] = can[i][now];//dp[i][now][last]成立表示ans[i]=can[i][now],ans[i-1]=can[i-1][last]
	int temp = pre[i][now][last];//回溯得到是由dp[i-1][last][temp]轉移而來的
	now = last;
	last = temp;
}
ans[1] = can[1][1];//ans[1]單獨賦值

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代碼如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 1e5+5;
int t, n;
int ans[maxn], b[maxn];
int can[maxn][5];
int dp[maxn][5][5];
int pre[maxn][5][5];
int mid(int a, int b, int c){//求三個數中位數的函數
	if(a > b)	swap(a, b);
	if(b > c)	swap(b, c);
	if(a > b)	swap(a, b);
	return b;
}
int main(){
	cin >> t;
	while(t--){
		scanf("%d", &n);
		for(int i = 3; i <= n; i++){
			scanf("%d", &b[i]);//b[i] 表示 a[i-2],a[i-1],a[i] 的中位數，a[i] 影響着 b[i],b[i+1],b[i+2]
		}
		b[1] = b[2] = b[3];
		b[n+2] = b[n+1] = b[n];
		for(int i = 1; i <= n; i++){//求出can數組，得到每個位置可能的值
			can[i][1] = b[i];
			can[i][2] = b[i+1];
			can[i][3] = b[i+2];
		}
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			for(int j = 1; j <= 3; j++){
				for(int k = 1; k <= 3; k++){
					pre[i][j][k] = dp[i][j][k] = 0;//初始化pre和dp數組
				}
			}
		}
		for(int i = 1; i <= 3; i++){
			for(int j = 1; j <= 3; j++){
				dp[2][i][j] = 1;//dp數組初始化
				//假設一開始ans[2]位置可以取can[2][1-3]的任何值
			}
		}
		for(int i = 3; i <= n; i++){//開始dp
			for(int j = 1; j <= 3; j++){
				for(int k = 1; k <= 3; k++){
					for(int l = 1; l <= 3; l++){
						if(dp[i-1][k][l] && mid(can[i-2][l], can[i-1][k], can[i][j]) == b[i]){
							//dp[i][j][k]成立的三個條件
							dp[i][j][k] = 1;
							pre[i][j][k] = l;
						}
					}
				}
			}
		}
		int now, last;//表示dp[n][now][last]=1
		bool isfind = false;//判斷是否找到這樣的dp[n][j][k]成立
		for(int i = 1; i <= 3; i++){
			for(int j = 1; j <= 3 && !isfind; j++){
				if(dp[n][i][j]){
					isfind = true;
					now = i;
					last = j;
				}
			}
		}
		if(!isfind){//找不到輸出-1
			cout << "-1" << endl;
			continue;
		}
		for(int i = n; i >= 2; i--){
			ans[i] = can[i][now];//dp[i][now][last]成立表示ans[i]=can[i][now],ans[i-1]=can[i-1][last]
			int temp = pre[i][now][last];//回溯得到是由dp[i-1][last][temp]轉移而來的
			now = last;
			last = temp;
		}
		ans[1] = can[1][1];//ans[1]單獨賦值
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			cout << ans[i] << " ";
		}
		cout << endl;
	}
	return 0;
}