理解中國剩餘定理

首先， 我們要知道中國剩餘定理是用來解決 解一組模數互質的模線性方程 的東西。

比如 x1 = a1( mod b1);

x2 = a2( mod b2);

x3 = a3( mod b3);

x4 = a4( mod b4);

......

這裏的 b1,b2,b3,b4.....bn 互質.

我們設要求的答案爲S; 設a = a1*a2*a3*....*an;  設m = b1*b2*b3*....*bn, 同時設mi = m / bi ;

另外 假設 ci = mi( mi^-1 mod bi ) 這裏的mi ^ -1 是mi 對應在模爲bi下的逆元。

下面我要先說一個結論

S = (a1*c1 + a2*c2 + a3 *c3 + ..... an *cn) mod n;

下面我們證明它：

首先 ci mod bi = mi(mi^-1  mod bi) mod bi = 1 // 這裏看仔細. mi ＊ mi^-1 mod bi  = 1 對吧？

那麼 又因爲 ci mod bj = mi(mi^-1 mod bi) mod bj = 0 // 這裏是因爲mi肯定可以整除bj 仔細想想

又因爲這個公式  x % bi <=> ( x % m) % bi ;

所以是不是 S 滿足上面的方程組呢？  ／／想想？

OK  。。。 很簡單的證明。