【三角】和差角公式的證明與積化和差和差化積公式的推導

基礎三角公式

單位圓

所需基本三角公式：

sin(a) = -sin(-a) 

cos(a) = cos(-a)

 

正切與正弦/餘弦的和/差角公式的證明

 

由右圖可知 sin(a+b) 和 cos(a+b) 公式，將 b 用 -b 替換即可得差角公式

由左圖可知 tan(a+b) 的公式，將b用-b替換即可得差角公式。由 cot = 1/tan 可得餘切的和差角公式

 

和差化積公式的證明

基於和差角公式得如下四組等式

cos(a+b) - cos(a-b) = cos(b)cos(a) - sin(b)sin(a) - [cos(b)cos(a) + sin(b)sin(a)] = -2sin(b)sin(a)

cos(a+b) + cos(a-b) = cos(b)cos(a) - sin(b)sin(a) + cos(b)cos(a) + sin(b)sin(a) = 2cos(b)cos(a)

sin(a+b) - sin(a+b) = cos(b)sin(a) + sin(b)cos(a) - [cos(b)sin(a) - sin(b)cos(a)] = 2sin(b)cos(a)

sin(a+b) + sin(a+b) = cos(b)sin(a) + sin(b)cos(a) +  cos(b)sin(a) - sin(b)cos(a) = 2cos(b)sin(a)

 

PS：只需記憶一條邊，再進行公式推理乘上係數2即可：

記憶圖片

 

PS：應用時如給 cos(100)-cos(50) 列一個二元方程，需要自己得出 a與b 是多少

  可解得  

 

 

積化和差公式證明

基於和差化積公式得如下四組等式

sin(a)sin(b) = -[ cos(a+b) - cos(a-b) ]/2

cos(b)cos(a) = [ cos(a+b) + cos(a-b) ]/2

sin(b)cos(a) = [ sin(a+b) - sin(a-b) ]/2

cos(b)sin(a) = [sin(a+b) + sin(a+b)]/2

 

注：兩幅和差角證明的幾何插圖來源於網絡