【伯努利數】

問題：設T(n,k)=nk$T(n,k)=n^k$ ，S(n,k)=∑ni=1T(i)$S(n,k)=\sum _{i=1}^{n}T(i)$ 。給出n和k，求S(n)。
例如k=2，n=5，S(n,k)=12+22+32+42+52=55$k=2，n=5，S(n,k)=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55$ 。
由於結果很大，輸出S(n)MOD1000000007$S(n)MOD1000000007$ 的結果即可。

伯努利數是18世紀瑞士數學家雅各布·伯努利引入的一個數。設伯努利數爲 Bn$B_n$
，它的定義爲： tet−1=∑ni=1Bnn!∗tn$\frac{t}{e^t-1}=\sum _{i=1}^n\frac{B_n}{n!}\ast t^n$ 這裏|t|<2 。由計算知：B0=1,B1=−12$B_0=1,B_1=-\frac{1}{2}$
一般地，當 n≥2$n\ge 2$ 時，我們可以通過 ∑ni=0C(n+1,i)∗Bk=0$\sum _{i=0}^{n}C(n+1,i)\ast B_k=0$ 通過這個公式我們就得到了 Bn$B_n$ 的公式：

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Bn=−1n+1∗(C0n+1∗B0+C1n+1∗B1+...+Cn−1n+1∗Bn−1))$B_n=\frac{-1}{n+1}\ast (C_{n+1}^0\ast B_0+C_{n+1}^1\ast B_1+...+C_{n+1}^{n-1}\ast B_{n-1}))$

**
那麼 我現在給出 求 1k+2k+...+nk$1^k+2^k+...+n^k$ 的關於伯努利的公式：

∑ni=1ik=1k+1∑k+1i=1Cik+1∗B[k+1−i]∗(n+1)i$\sum _{i=1}^n{i}^k=\frac{1}{k+1}\sum _{i=1}^{k+1}{C}_{k+1}^i\ast B_{[k+1-i]}\ast (n+1{)}^i$

通過這個式子就可以在O(K)$O(K)$ 的複雜度求出S(n,k)$S(n,k)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MOD=1e9+7;
const int N=1010;
int c[N][N],inv[N];
LL B[N];
void init(int n)
{
    c[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {   c[i][0]=c[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
        c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%MOD;
    }
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        inv[i]=(LL)(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;

    B[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<i;j++)
        {
            B[i]=(B[j]*c[i+1][j]%MOD+B[i])%MOD;
        }
        B[i]=(B[i]*(-inv[i+1])%MOD+MOD)%MOD;
    }
}
// B[100]:94103270
LL Bnum(int n,int k)
{
    LL ans=0,tem=1;
    for(int i=1;i<=k+1;i++)
    {
        tem=tem*(n+1)%MOD;
        ans=(c[k+1][i]*B[k+1-i]%MOD*tem%MOD+ans)%MOD;
    }
    ans=(ans*inv[k+1]%MOD+MOD)%MOD;
    return ans;
}
LL pod(LL x,LL n)
{
    LL ret=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)ret=ret*x%MOD;
        x=x*x%MOD;
        n>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    init(1005);
    int n,k;
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)cout<<Bnum(n,k)<<endl;
}