##數論模版##

/**************以下爲常用算法************/
//把n的約數的莫比烏斯函數值用map的形式返回O(sqrt(n))
map<int,int > moebius (int n)
{
    map<int,int > res;
    vector<int > pri;

    for (int i=2;i*i<=n;i++)
        if (n%i==0){
            pri.push_back(i);
            while (n%i==0) n/=i;
        }
    if (n!=1) pri.push_back(n);

    int mm=pri.size();
    for (int i=0;i<(1<<mm);i++)
    {
        int mu=1,d=1;
        for (int j=0;j<mm;j++)
             if (i>>j&1){
                mu*=-1;
                d*=pri[j];
            }
        res[d]=mu;
    }
    return res;
}
//-------------------------------
int euler(int n)
{
    int res=n;
    for (int i=2;i*i<=n;i++)
        if (n%i==0)
            {
                res=res/i*(i-1);
                for (;n%i==0;n/=i);
            }
    if (n!=1) res=res/n*(n-1);
    return res;
}
//-------------------------------
bool v[N];//篩法的輔助數組
int num[N],o,e[N],mu[N];//num存素數,e存歐拉函數,mu存莫比烏斯函數
void get_euler_and_prime()
{
    memset(v,0,sizeof(v));e[1]=1; o=0;
    for (int i=2;i<N;i++)
        {   if (!v[i]) {num[o++]=i; e[i]=i-1; mu[i]=-1;}
            for (int j=0;j<o;j++)
                {
                    if (i*num[j]>=N) break;
                    v[i*num[j]]=1;
                    if (i%num[j]==0) {e[i*num[j]]=e[i]*num[j];break;
                                      mu[i*num[j]]=0;
                                     }
                                 else {e[i*num[j]]=e[i]*e[num[j]];
                                       mu[i*num[j]]=-mu[i];
                                      }
                }

        }
}
//-------------------------------
ll  mul_(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll exp=a%mod,res=0;
    while (b)
     {
        if (b&1){   res+=exp;
                    if (res>=mod) res-=mod;
                }
        exp<<=1;
        if (exp>=mod) exp-=mod;
        b>>=1;
     }
     return res;
}
//-------------------------------
ll pow_(ll a,ll n,ll mod)
{   ll res=1;
    while (n)
        {   if (n&1) res=mul_(res,a,mod);
            n>>=1;
            a=mul_(a,a,mod);
        }
    return res;
}
//-------------------------------
ll pow2_(ll a,ll n,ll mod)
{
    if (n==0) return 1;
    if (n%2==1) return mul_(pow2_(a,n/2,mod),pow_(a,n/2+1,mod)+1,mod);
    return (pow2_(a,n-1,mod)+pow_(a,n,mod)+1)%mod;
}
//-------------------------------
void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll&y)//ax+by=d;且返回的x，y滿足：abs(x)+abs(y)最小
{
    if (!b) {d=a;x=1;y=0;}
    else {exgcd(b,a%b,d,y,x); y-=a/b*x;}
}
//-------------------------------
ll minx_(ll a,ll b,ll c)//ax≡c(mod b),求最小非負x
{
    ll d,x,y;
    exgcd(a,b,d,x,y);
    if (c%d!=0) return -1;
    a/=d;
    b/=d;
    c/=d;
    return (x*c%b+b)%b;
}
//-------------------------------
ll inv(ll a,ll n)
{
    ll d,x,y;
    exgcd(a,n,d,x,y);
    return d==1?(x+n)%n:-1;
}
//-------------------------------
ll fac[P]; 預處理的n!%p的表 O(p)
ll mod_fact(ll n,ll p,ll &e) //要求p爲素數，O(log2(n)/log2(p))
{
    e=0;if (n==0) return 1;
    ll res=mod_fact(n/p,p,e);
    e+=n/p;
    if (n/p%2!=0) return res*(p-fac[n%p])%p;
    return res*fac[n%p]%p;
}
//-------------------------------
ll mod_comb(ll n,ll k,ll p) //要求p爲素數，O(log2(n)/log2(p))
{
    if (n<0||k<0||n<k) return 0;
    ll e1,e2,e3,a1,a2,a3;
    a1=mod_fact(n,p,e1);
    a2=mod_fact(k,p,e2);
    a3=mod_fact(n-k,p,e3);
    if (e1>e2+e3) return 0;
    return a1*inv(a2*a3%p,p)%p;
}
//-------------------------------
map<ll,ll> ma;
ll log_mod(ll a,ll b,ll n)//a^x≡b(mod n)
{
    ll m=1,v,e=1,i;
    m=ll(sqrt(n+0.5));
    v=inv(pow_(a,m,n),n);
    ma.clear();ma[1]=0;
    for (int i=1;i<m;i++)
        {
            e=mul_(e,a,n);
            if (!ma.count(e)) ma[e]=i;
        }
    for (int i=0;i<m;i++)
        {
            if (ma.count(b)) return i*m+ma[b];
            b=mul_(b,v,n);
        }
    return -1;
}
/***************以下爲解方程組的******************/
pair<ll,ll> china(int n,int *a,int *m)
{
    ll M=1,d,y,x,re=0;
    for (int i=0;i<n;i++) M*=m[i];
    for (int i=0;i<n;i++)
        {
            ll w=M/m[i];
            exgcd(m[i],w,d,x,y);
            re=(re+y*w*a[i])%M;
        }
    return make_pair((re+M)%M,M);
}
//-------------------------------
pair<ll,ll> equs(int *aa,int *bb,int *cc,int nn)
{
    ll re=0,m=1,t,a,b,d;
    for (int i=0;i<nn;i++)
        {
            a=aa[i]*m,b=bb[i]-aa[i]*re,d=gcd(cc[i],a);
            if (b%d!=0) return make_pair(ll(0),ll(-1));
            t=b/d*inv(a/d,cc[i]/d)%(cc[i]/d);
            re=re+m*t;
            m*=cc[i]/d;
        }
    return make_pair((re%m+m)%m,m);
}
/**************以下爲兩個隨機算法************/
//需要主程序開頭加srand(time(NULL));以及ctime頭文件
bool check(ll a,ll n,ll r,ll s)
{
    ll ans,last,i;
    ans=pow_(a,r,n);
    last=ans;
    for(i=1;i<=s;i++)
    {
        ans=mul_(ans,ans,n);
        if(ans==1&&last!=1&&last!=n-1)return true;
        last=ans;
    }
    if(ans!=1)return true;
    return false;
}
bool Miller_Rabin(ll n)//Miller_Rabin算法，判斷n是否爲素數
{
    if(n<2)return false;
    if(n==2)return true;
    if(!(n&1))return false;
    ll r,s,a;
    r=n-1;s=0;
    while(!(r&1)){r=r>>1;s++;}
    for(int i=0;i<20;i++)
    {
        a=rand()%(n-1)+1;
        if(check(a,n,r,s))
            return false;
    }
    return true;
}
//-------------------------------
ll gcd(ll a,ll b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
ll Pollard_rho(ll n,ll c)
{
    ll i=1,j,k=2,x,y,d,p;
    x=rand()%n;
    y=x;
    while(true)
    {
        i++;
        x=(mul_(x,x,n)+c)%n;
        if(y==x)return n;
        if(y>x)p=y-x;else p=x-y;
        d=gcd(p,n);
        if(d!=1&&d!=n)return d;
        if(i==k)
        {
            y=x;
            k+=k;
        }
    }
}
void find(ll n)//找出n的所有質因子
{
    if(Miller_Rabin(n))
    {
        Q.push(n);return;
    }
    ll p=n;
    while(p>=n)p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);
    find(p);
    find(n/p);//如果只要求找到一個質因子，可以註釋掉
}