直观理解为什么分类问题用交叉熵损失而不用均方误差损失?

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交叉熵损失与均方误差损失

常规分类网络最后的softmax层如下图所示，传统机器学习方法以此类比，

一共有$K$类，令网络的输出为$[\hat{y}_1,\dots, \hat{y}_K]$，对应每个类别的概率，令label为 $[y_1, \dots, y_K]$。对某个属于$p$类的样本，其label中$y_p=1$，$y_1, \dots, y_{p-1}, y_{p+1}, \dots, y_K$均为0。

对这个样本，交叉熵（cross entropy）损失为
$\begin{aligned}L &= - (y_1 \log \hat{y}_1 + \dots + y_K \log \hat{y}_K) \\&= -y_p \log \hat{y}_p \\ &= - \log \hat{y}_p\end{aligned}$
**均方误差损失（mean squared error，MSE）**为
$\begin{aligned}L &= (y_1 - \hat{y}_1)^2 + \dots + (y_K - \hat{y}_K)^2 \\&= (1 - \hat{y}_p)^2 + (\hat{y}_1^2 + \dots + \hat{y}_{p-1}^2 + \hat{y}_{p+1}^2 + \dots + \hat{y}_K^2)\end{aligned}$
则$m$个样本的损失为
$\ell = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m L_i$
对比交叉熵损失与均方误差损失，只看单个样本的损失即可，下面从两个角度进行分析。

损失函数角度

损失函数是网络学习的指挥棒，它引导着网络学习的方向——能让损失函数变小的参数就是好参数。

所以，损失函数的选择和设计要能表达你希望模型具有的性质与倾向。

对比交叉熵和均方误差损失，可以发现，两者均在$\hat{y} = y = 1$时取得最小值0，但在实践中$\hat{y}_p$只会趋近于1而不是恰好等于1，在$\hat{y}_p < 1$的情况下，

• 交叉熵只与label类别有关，$\hat{y}_p$越趋近于1越好
• 均方误差不仅与$\hat{y}_p$有关，还与其他项有关，它希望$\hat{y}_1, \dots, \hat{y}_{p-1}, \hat{y}_{p+1}, \dots, \hat{y}_K$越平均越好，即在$\frac{1-\hat{y}_p}{K-1}$时取得最小值

分类问题中，对于类别之间的相关性，我们缺乏先验。

虽然我们知道，与“狗”相比，“猫”和“老虎”之间的相似度更高，但是这种关系在样本标记之初是难以量化的，所以label都是one hot。

在这个前提下，均方误差损失可能会给出错误的指示，比如猫、老虎、狗的3分类问题，label为$[1, 0, 0]$，在均方误差看来，预测为$[0.8, 0.1, 0.1]$要比$[0.8, 0.15, 0.05]$要好，即认为平均总比有倾向性要好，但这有悖我们的常识。

而对交叉熵损失，既然类别间复杂的相似度矩阵是难以量化的，索性只能关注样本所属的类别，只要$\hat{y}_p$越接近于1就好，这显示是更合理的。

softmax反向传播角度

softmax的作用是将$(-\infty, +\infty)$的几个实数映射到$(0,1)$之间且之和为1，以获得某种概率解释。

令softmax函数的输入为$z$，输出为$\hat{y}$，对结点$p$有，
$\hat{y}_p = \frac{e^{z_p}}{\sum_{k=1}^K e^{z_k}}$
$\hat{y}_p$不仅与$z_p$有关，还与$\{z_k | k\neq p\}$有关，这里仅看$z_p $，则有
$\frac{\partial \hat{y}_p}{\partial z_p} = \hat{y}_p(1-\hat{y}_p)$
$\hat{y}_p$为正确分类的概率，为0时表示分类完全错误，越接近于1表示越正确。根据链式法则，按理来讲，对与$z_p$相连的权重，损失函数的偏导会含有$\hat{y}_p(1-\hat{y}_p)$这一因子项，$\hat{y}_p = 0$时分类错误，但偏导为0，权重不会更新，这显然不对——分类越错误越需要对权重进行更新。

对交叉熵损失，
$\frac{\partial L}{\partial \hat{y}_p} = -\frac{1}{\hat{y}_p}$
则有
$\frac{\partial L}{\partial \hat{z}_p} = \frac{\partial L}{\partial \hat{y}_p} \cdot \frac{\partial \hat{y}_p}{\partial z_p} = \hat{y}_p - 1$
恰好将$\hat{y}_p(1-\hat{y}_p)$中的$\hat{y}_p$消掉，避免了上述情形的发生，且$\hat{y}_p$越接近于1，偏导越接近于0，即分类越正确越不需要更新权重，这与我们的期望相符。

而对均方误差损失，
$\frac{\partial L}{\partial \hat{y}_p} = -2(1-\hat{y}_p)=2(\hat{y}_p - 1)$
则有，
$\frac{\partial L}{\partial \hat{z}_p} = \frac{\partial L}{\partial \hat{y}_p} \cdot \frac{\partial \hat{y}_p}{\partial z_p} = -2 \hat{y}_p (1 - \hat{y}_p)^2$
显然，仍会发生上面所说的情况——$\hat{y}_p = 0$，分类错误，但不更新权重。

综上，对分类问题而言，无论从损失函数角度还是softmax反向传播角度，交叉熵都比均方误差要好。

参考

• Loss Functions
• Why You Should Use Cross-Entropy Error Instead Of Classification Error Or Mean Squared Error For Neural Network Classifier Training