混合高斯模型算法

首先第一種是高斯混合模型算法:

高斯模型有單高斯模型(SGM)和混合高斯模型(GMM)兩種。

(1)單高斯模型:

爲簡單起見,閾值t的選取一般靠經驗值來設定。通常意義下,我們一般取t=0.7-0.75之間。

二維情況如下所示:

(2)混合高斯模型:

 

      對於(b)圖所示的情況,很明顯,單高斯模型是無法解決的。爲了解決這個問題,人們提出了高斯混合模型(GMM),顧名思義,就是數據可以看作是從數個高斯分佈中生成出來的。雖然我們可以用不同的分佈來隨意地構造 XX Mixture Model ,但是 GMM是 最爲流行。另外,Mixture Model 本身其實也是可以變得任意複雜的,通過增加 Model 的個數,我們可以任意地逼近任何連續的概率密分佈。

    每個 GMM 由 K 個 Gaussian 分佈組成,每個 Gaussian 稱爲一個“Component”,這些 Component 線性加成在一起就組成了 GMM 的概率密度函數:

 

                (1)

其中,πk表示選中這個component部分的概率,我們也稱其爲加權係數。

根據上面的式子,如果我們要從 GMM 的分佈中隨機地取一個點的話,實際上可以分爲兩步:

(1)首先隨機地在這 K 個 Component 之中選一個,每個 Component 被選中的概率實際上就是它的係數 πk,選中了 Component 之後,再單獨地考慮從這個 Component 的分佈中選取一個點就可以了──這裏已經回到了普通的 Gaussian 分佈,轉化爲了已知的問題。假設現在有 N 個數據點,我們認爲這些數據點由某個GMM模型產生,現在我們要需要確定 πk,μk,σk 這些參數。很自然的,我們想到利用最大似然估計來確定這些參數,GMM的似然函數如下:

        (2)

 

在最大似然估計裏面,由於我們的目的是把乘積的形式分解爲求和的形式,即在等式的左右兩邊加上一個log函數,但是由上文博客裏的(2)式可以看出,轉化爲log後,還有log(a+b)的形式,因此,要進一步求解。

我們採用EM算法,分佈迭代求解最大值:

EM算法的步驟這裏不作詳細的介紹,可以參見博客:

http://blog.pluskid.org/?p=39

貼出代碼:

複製代碼
  1 function varargout = gmm(X, K_or_centroids)
2 % ============================================================
3 % Expectation-Maximization iteration implementation of
4 % Gaussian Mixture Model.
5 %
6 % PX = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)
7 % [PX MODEL] = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)
8 %
9 % - X: N-by-D data matrix.
10 % - K_OR_CENTROIDS: either K indicating the number of
11 % components or a K-by-D matrix indicating the
12 % choosing of the initial K centroids.
13 %
14 % - PX: N-by-K matrix indicating the probability of each
15 % component generating each point.
16 % - MODEL: a structure containing the parameters for a GMM:
17 % MODEL.Miu: a K-by-D matrix.
18 % MODEL.Sigma: a D-by-D-by-K matrix.
19 % MODEL.Pi: a 1-by-K vector.
20 % ============================================================
21
22 threshold = 1e-15;
23 [N, D] = size(X);
24
25 if isscalar(K_or_centroids)
26 K = K_or_centroids;
27 % randomly pick centroids
28 rndp = randperm(N);
29 centroids = X(rndp(1:K), :);
30 else
31 K = size(K_or_centroids, 1);
32 centroids = K_or_centroids;
33 end
34
35 % initial values
36 [pMiu pPi pSigma] = init_params();
37
38 Lprev = -inf;
39 while true
40 Px = calc_prob();
41
42 % new value for pGamma
43 pGamma = Px .* repmat(pPi, N, 1);
44 pGamma = pGamma ./ repmat(sum(pGamma, 2), 1, K);
45
46 % new value for parameters of each Component
47 Nk = sum(pGamma, 1);
48 pMiu = diag(1./Nk) * pGamma' * X;
49 pPi = Nk/N;
50 for kk = 1:K
51 Xshift = X-repmat(pMiu(kk, :), N, 1);
52 pSigma(:, :, kk) = (Xshift' * ...
53 (diag(pGamma(:, kk)) * Xshift)) / Nk(kk);
54 end
55
56 % check for convergence
57 L = sum(log(Px*pPi'));
58 if L-Lprev < threshold
59 break;
60 end
61 Lprev = L;
62 end
63
64 if nargout == 1
65 varargout = {Px};
66 else
67 model = [];
68 model.Miu = pMiu;
69 model.Sigma = pSigma;
70 model.Pi = pPi;
71 varargout = {Px, model};
72 end
73
74 function [pMiu pPi pSigma] = init_params()
75 pMiu = centroids;
76 pPi = zeros(1, K);
77 pSigma = zeros(D, D, K);
78
79 % hard assign x to each centroids
80 distmat = repmat(sum(X.*X, 2), 1, K) + ...
81 repmat(sum(pMiu.*pMiu, 2)', N, 1) - ...
82 2*X*pMiu';
83 [dummy labels] = min(distmat, [], 2);
84
85 for k=1:K
86 Xk = X(labels == k, :);
87 pPi(k) = size(Xk, 1)/N;
88 pSigma(:, :, k) = cov(Xk);
89 end
90 end
91
92 function Px = calc_prob()
93 Px = zeros(N, K);
94 for k = 1:K
95 Xshift = X-repmat(pMiu(k, :), N, 1);
96 inv_pSigma = inv(pSigma(:, :, k));
97 tmp = sum((Xshift*inv_pSigma) .* Xshift, 2);
98 coef = (2*pi)^(-D/2) * sqrt(det(inv_pSigma));
99 Px(:, k) = coef * exp(-0.5*tmp);
100 end
101 end
102 end
複製代碼


    函數返回的 Px 是一個 N\times K 的矩陣,對於每一個 x_i ,我們只要取該矩陣第 i 行中最大的那個概率值所對應的那個 Component 爲 x_i 所屬的 cluster 就可以實現一個完整的聚類方法了。

 

參考資料:

【C++代碼】

http://www.cppblog.com/Terrile/archive/2011/01/19/120051.html

http://www.autonlab.org/tutorials/gmm.html

http://bubblexc.com/y2011/8/

http://blog.pluskid.org/?p=39&cpage=1#comments

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