bzoj1036 [ZJOI2008]樹的統計Count （樹鏈剖分|Link Cut Tree）

Description

一棵樹上有n個節點，編號分別爲1到n，每個節點都有一個權值w。我們將以下面的形式來要求你對這棵樹完成一些操作： I. CHANGE u t : 把結點u的權值改爲t II. QMAX u v: 詢問從點u到點v的路徑上的節點的最大權值 III. QSUM u v: 詢問從點u到點v的路徑上的節點的權值和注意：從點u到點v的路徑上的節點包括u和v本身

Input

輸入的第一行爲一個整數n，表示節點的個數。接下來n – 1行，每行2個整數a和b，表示節點a和節點b之間有一條邊相連。接下來n行，每行一個整數，第i行的整數wi表示節點i的權值。接下來1行，爲一個整數q，表示操作的總數。接下來q行，每行一個操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式給出。對於100％的數據，保證1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保證每個節點的權值w在-30000到30000之間。

Output

對於每個“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行輸出一個整數表示要求輸出的結果。

Sample Input

4
1 2
2 3
4 1
4 2 1 3
12
QMAX 3 4
QMAX 3 3
QMAX 3 2
QMAX 2 3
QSUM 3 4
QSUM 2 1
CHANGE 1 5
QMAX 3 4
CHANGE 3 6
QMAX 3 4
QMAX 2 4
QSUM 3 4

Sample Output*

4
1
2
2
10
6
5
6
5
16

題解

先說下樹鏈剖分。

關於幾個概念：

重兒子：節點u 的重兒子就是u 的子節點中size[v] 最大的
輕兒子：除了重兒子以外的其他兒子
重邊：節點與其重兒子相連的邊
輕邊：節點與其輕兒子相連的邊
重鏈：重邊組成的路徑
輕鏈：輕邊

樹鏈剖分就是把對樹的操作分解爲對幾條重鏈的操作。
需要注意單獨一個節點也算重鏈。
如下圖：

樹中所有的重鏈：

1−4−9−13−14
2−6−11
3−7
10
8
12
5

樹鏈剖分需要藉助的幾個數組：

size[v]: 節點v與v的子樹的大小
deep[v]: 節點v的深度
max_son[v]: v的重兒子的編號
mark[v]: 對樹重編號後v的編號（什麼是重編號下面會說）
top[v]: 節點v所在的重鏈中深度最小的節點

步驟：

第一遍dfs，計算出size,deep,max_son 數組，順便記錄下dfs序（求LCA要用到）。
根據dfs序預處理出ST表（這些都是因爲樹上的操作往往需要求LCA，比如求點u,v 的距離，就是從u 到lca的距離加上v 到lca的距離）。
第二遍dfs，對樹重編號以及求top 數組。本次dfs 優先走重邊，每到一個節點mark[v] = ++num。這樣可以看出，一條重鏈上的節點的mark值一定是連續的。
此時問題簡單多了，前面說過，樹鏈剖分就是把對樹的操作轉化爲對幾條重鏈的操作，那麼如何維護一條重鏈呢？
很顯然，因爲一條重鏈上的mark值都是連續的，所以可以用線段樹或splay維護。

再來說下本題

樹鏈剖分的大概思路已經明白了，那麼如何求u,v 兩點之間的距離（最大值同理）呢？

先找出u,v 的lca。接下來以求u 到lca 的距離爲例：
- 求u 和top[u] 的距離（u 和top[u] 在一條重鏈上，所以線段樹直接可以求）。
- u=fa[top[u]] ,重複以上步驟直到deep[u]<deep[lca] 。

至此本題解決。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <vector>

#define lch rt << 1
#define rch rt << 1 | 1
#define lson l, mid, lch
#define rson mid + 1, r, rch

using namespace std;

const int MAXN = 30005;

int n, q;
int value[MAXN];
vector<int> edges[MAXN];
int tot = 0;
int dfsver[MAXN << 1], first[MAXN];
int ST[MAXN << 1][20];
int siz[MAXN], deep[MAXN], max_son[MAXN];
int mark[MAXN], top[MAXN];
int fa[MAXN];

void dfs_size(int x, int pre, int dep) {
    dfsver[++tot] = x;
    first[x] = tot;

    deep[x] = dep;
    max_son[x] = 0;
    siz[x] = 1;

    for (int i = 0; i < edges[x].size(); i++) {
        int nex = edges[x][i];
        if (nex == pre) continue;
        dfs_size(nex, x, dep + 1);
        dfsver[++tot] = x;
        fa[nex] = x;

        siz[x] += siz[nex];
        if (!max_son[x] || siz[nex] > siz[max_son[x]])
            max_son[x] = nex;
    }
}

int _num = 0;
void dfs_remark(int x, int pre, int topx) {
    top[x] = topx;
    mark[x] = ++_num;
    if (max_son[x]) dfs_remark(max_son[x], x, topx);
    for (int i = 0; i < edges[x].size(); i++) {
        int nex = edges[x][i];
        if (nex == pre) continue;
        if (max_son[x] != nex)
            dfs_remark(nex, x, nex);
    }

}

void RMQ() {
    for (int i = 1; i <= tot; i++)
        ST[i][0] = dfsver[i];
    for (int j = 1; (1 << j) <= tot; j++) {
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 < tot; i++) {
            int a = ST[i][j - 1], b = ST[i + (1 << j - 1)][j - 1];
            ST[i][j] = deep[a] < deep[b] ? a : b;
        }
    }
}
int LCA(int a, int b) {
    int x = first[a], y = first[b];
    if (x > y) swap(x, y);
    int k = int(log(y - x + 1) / log(2));
    int l = ST[x][k], r = ST[y - (1 << k) + 1][k];
    int res = deep[l] < deep[r] ? l : r;
    return res;
}

int sum[MAXN << 2], mx[MAXN << 2];
void push_up(int rt) { sum[rt] = sum[lch] + sum[rch]; mx[rt] = max(mx[lch], mx[rch]); }
void build_tree(int l, int r, int rt) {
    int mid = l + r >> 1;
    sum[rt] = 0;
    mx[rt] = INT_MIN;
    if (l == r) return;
    build_tree(lson);
    build_tree(rson);
}
void insert(int l, int r, int rt, int id, int val) {
    if (l == r) {
        sum[rt] = mx[rt] = val;
        return;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    if (id <= mid) insert(lson, id, val);
    else insert(rson, id, val);
    push_up(rt);
}

struct Node{
    int sum, mx;
    Node() {}
    Node(int a, int b) : sum(a), mx(b) {}
};
Node query(int l, int r, int rt, int L, int R) {
    if (L <= l && R >= r)
        return Node(sum[rt], mx[rt]);
    int mid = l + r >> 1;
    Node t;
    int sum = 0, mx = INT_MIN;
    if (L <= mid) {
        t = query(lson, L, R);
        sum += t.sum;
        mx = max(mx, t.mx);
    }
    if (mid < R) {
        t = query(rson, L, R);
        sum += t.sum;
        mx = max(mx, t.mx);
    };
    t = Node(sum, mx);
    return t;
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    int a, b;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        scanf("%d %d", &a, &b);
        edges[a].push_back(b);
        edges[b].push_back(a);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &value[i]);
    scanf("%d", &q);
    dfs_size(1, 1, 1);
    RMQ();
    dfs_remark(1, 1, 1);
    build_tree(1, n, 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) insert(1, n, 1, mark[i], value[i]);
    char op[8];
    int x, y;
    for (int i = 0; i < q; i++) {
        scanf("%s", op);
        scanf("%d %d", &x, &y);
        if (op[0] == 'C') insert(1, n, 1, mark[x], y);
        else {
            int lca = LCA(x, y);
            int sum = 0;
            int mx = INT_MIN;
            while (x && deep[top[x]] >= deep[lca]) {
                Node t = query(1, n, 1, mark[top[x]], mark[x]);
                sum += t.sum;
                mx = max(mx, t.mx);
                x = fa[top[x]];
            }
            if (x && deep[x] >= deep[lca]) {
                Node t = query(1, n, 1, mark[lca], mark[x]);
                sum += t.sum;
                mx = max(mx, t.mx);
            }
            while (y && deep[top[y]] >= deep[lca]) {
                Node t = query(1, n, 1, mark[top[y]], mark[y]);
                sum += t.sum;
                mx = max(mx, t.mx);
                y = fa[top[y]];
            }
            if (y && deep[y] >= deep[lca]) {
                Node t = query(1, n, 1, mark[lca], mark[y]);
                sum += t.sum;
                mx = max(mx, t.mx);
            }
            sum -= query(1, n, 1, mark[lca], mark[lca]).sum;
            if (op[1] == 'M') printf("%d\n", mx);
            else printf("%d\n", sum);
        }
    }
    return 0;
}

然後再順便說一下LCT

本題用LCT算是相當好寫了。。。
我一開始用樹剖是因爲當時還不會LCT。。。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <vector>

#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

const int MAXN = 30005;

int n, m;
vector<int> edges[MAXN];
int rev[MAXN], fa[MAXN], tr[MAXN][2];
int q[MAXN], top = 0;
int val[MAXN], mx[MAXN], sum[MAXN];

void dfs_fa(int x) {
    for (int i = 0; i < edges[x].size(); i++) {
        if (edges[x][i] != fa[x]) {
            fa[edges[x][i]] = x;
            dfs_fa(edges[x][i]);
        }
    }
}

void pushup(int x) {
    int l = tr[x][0], r = tr[x][1];
    mx[x] = max(max(mx[l], mx[r]), val[x]);
    sum[x] = sum[l] + sum[r] + val[x];
}
void pushdown(int x) {
    int l = tr[x][0], r = tr[x][1];
    if (rev[x]) {
        rev[x] ^= 1; rev[l] ^= 1; rev[r] ^= 1;
        swap(tr[x][0], tr[x][1]);
    }
}
bool isroot(int x) {
    return tr[fa[x]][0] != x && tr[fa[x]][1] != x;
}
void rotate(int x) {
    int y = fa[x], z = fa[y];
    int l, r;
    if (tr[y][0] == x) l = 0;
    else l = 1;
    r = l ^ 1;
    if (!isroot(y)) {
        if (tr[z][0] == y) tr[z][0] = x;
        else tr[z][1] = x;
    }
    fa[x] = z;
    fa[y] = x;
    fa[tr[x][r]] = y;
    tr[y][l] = tr[x][r];
    tr[x][r] = y;
    pushup(y);
    pushup(x);
}
void splay(int x) {
    top = 0;
    q[++top] = x;
    for (int i = x; !isroot(i); i = fa[i])
        q[++top] = fa[i];
    while (top) pushdown(q[top--]);
    while (!isroot(x)) {
        int y = fa[x], z = fa[y];
        if (!isroot(y)) {
            if (tr[z][0] == y ^ tr[y][0] == x) rotate(x);
            else rotate(y);
        }
        rotate(x);
    }
}
void access(int x) {
    for (int t = 0; x; t = x, x = fa[x])
        splay(x), tr[x][1] = t, pushup(x);
}
void makeroot(int x) {
    access(x);
    splay(x);
    rev[x] ^= 1;
}

void change(int x, int t) {
    access(x);
    splay(x);
    val[x] = t;
    pushup(x);
}
void query_max(int x, int y) {
    makeroot(x);
    access(y);
    splay(y);
    printf("%d\n", mx[y]);
}
void query_sum(int x, int y) {
    makeroot(x);
    access(y);
    splay(y);
    printf("%d\n", sum[y]);
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    mx[0] = -INF;
    int x, y;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        scanf("%d %d", &x, &y);
        edges[x].push_back(y);
        edges[y].push_back(x);
    }
    dfs_fa(1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &val[i]);
        sum[i] = mx[i] = val[i];
    }
    scanf("%d", &m);
    char op[8];
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        scanf("%s", op);
        scanf("%d %d", &x, &y);
        if (op[0] == 'C') change(x, y);
        else if (op[1] == 'M') query_max(x, y);
        else query_sum(x, y);
    }
    return 0;
}

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然後再順便說一下LCT

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