霍納規則中的算法思想

在《算法導論》第二章的思考題中，描述了利用霍納規則計算多項式的方法。以前自己在寫程序的時候都是傻傻的簡單粗暴地直接上了，看到這個算法的時候眼前一亮，就多看了一些，果然要比直接計算要效率高很多。爲了防止自己以後忘了這個高效的算法，在此記錄一下。

簡介

據百度百科介紹，霍納規則用來簡化樸素多項式的求值，在中國叫秦九韶算法。霍納規則是一種將一元n次多項式的求值問題轉化爲n個一次式的算法。其大大簡化了計算過程，即使在現代，利用計算機解決多項式的求值問題時，霍納規則依然是最優的算法規則。

既然是最優的算法規則，我們可以根據它的計算過程來分析爲何它會簡化原來的計算過程。一般多項式的表達式如下：

P (n) = \sum k = 0 n a k x k = a 0 + x (a 1 + x (a 2 + . . . + x (a n - 1 + x a n)))

最簡單直接的計算方法就是直接迭代計算相加，其僞代碼如下：

sum=0
for k<---0 to n
    sum<---sum+ak*x^k

對於每個k，假設計算機的計算冪的時候是採用元素多次相乘，則sum+akxk 的計算複雜度爲k+2 （假設加法和乘法指令的時間一樣，下同），總的計算時間爲

T (n) = c 1 n + c 2 (2 + 3 + . . . + (n + 2)) = c 1 n + c 2 n ( n + 4 ) 2

即直接計算的時間複雜度爲

θ(n2) 。

霍納規則採用的是最少乘法策略，它通過巧妙的結構分解，避免了一次次計算冪的過程，簡化了乘法計算數目，大大提高了計算效率。再次看一下多項式進行結構分解後的形式：

P (n) = \sum k = 0 n a k x k = a 0 + x (a 1 + x (a 2 + . . . + x (a n - 1 + x a n)))

霍納規則的僞代碼如下：

y<---0
for k<---n to 0
    do y<---ak+x*y

此時，對於每個k，其計算的時間複雜度爲2，則霍納規則計算多項式的總時間爲：

T (n) = c 1 n + c 2 \times 2 \times n = (c 1 + 2 c 2) n

即霍納規則計算多項式的時間複雜度爲

θ(n) 。

顯然，θ(n) 要遠遠優於θ(n2) 。雖然這只是一個小小的例子，但足以體現出算法思想的力量，以後再寫程序決不能蒙着腦袋上去就寫了，還真是要好好琢磨一下呢。

祝楓
2016年7月10日於深圳

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