機器學習算法與Python實踐之（七）邏輯迴歸（Logistic Regression）
機器學習算法與Python實踐這個系列主要是參考《機器學習實戰》這本書。因爲自己想學習Python，然後也想對一些機器學習算法加深下了解，所以就想通過Python來實現幾個比較常用的機器學習算法。恰好遇見這本同樣定位的書籍，所以就參考這本書的過程來學習了。
這節學習的是邏輯迴歸（Logistic Regression），也算進入了比較正統的機器學習算法。啥叫正統呢？我概念裏面機器學習算法一般是這樣一個步驟：
1）對於一個問題，我們用數學語言來描述它，然後建立一個模型，例如迴歸模型或者分類模型等來描述這個問題；
2）通過最大似然、最大後驗概率或者最小化分類誤差等等建立模型的代價函數，也就是一個最優化問題。找到最優化問題的解，也就是能擬合我們的數據的最好的模型參數；
3）然後我們需要求解這個代價函數，找到最優解。這求解也就分很多種情況了：
a）如果這個優化函數存在解析解。例如我們求最值一般是對代價函數求導，找到導數爲0的點，也就是最大值或者最小值的地方了。如果代價函數能簡單求導，並且求導後爲0的式子存在解析解，那麼我們就可以直接得到最優的參數了。
b）如果式子很難求導，例如函數裏面存在隱含的變量或者變量相互間存在耦合，也就互相依賴的情況。或者求導後式子得不到解釋解，例如未知參數的個數大於已知方程組的個數等。這時候我們就需要藉助迭代算法來一步一步找到最有解了。迭代是個很神奇的東西，它將遠大的目標（也就是找到最優的解，例如爬上山頂）記在心上，然後給自己定個短期目標（也就是每走一步，就離遠大的目標更近一點），腳踏實地，心無旁貸，像個蝸牛一樣，一步一步往上爬，支撐它的唯一信念是：只要我每一步都爬高一點，那麼積跬步，肯定能達到自己人生的巔峯，盡享山登絕頂我爲峯的豪邁與忘我。
另外需要考慮的情況是，如果代價函數是凸函數，那麼就存在全局最優解，方圓五百里就只有一個山峯，那命中註定了，它就是你要找的唯一了。但如果是非凸的，那麼就會有很多局部最優的解，有一望無際的山峯，人的視野是偉大的也是渺小的，你不知道哪個山峯纔是最高的，可能你會被命運作弄，很無辜的陷入一個局部最優裏面，坐井觀天，以爲自己找到的就是最好的。沒想到山外有山，人外有人，光芒總在未知的遠處默默綻放。但也許命運眷戀善良的你，帶給你的總是最好的歸宿。也有很多不信命的人，覺得人定勝天的人，誓要找到最好的，否則不會罷休，永不向命運妥協，除非自己有一天累了，倒下了，也要靠剩下的一口氣，邁出一口氣能支撐的路程。好悲涼啊……哈哈。
呃，不知道扯那去了，也不知道自己說的有沒有錯，有錯的話請大家不吝指正。那下面就進入正題吧。正如上面所述，邏輯迴歸就是這樣的一個過程：面對一個迴歸或者分類問題，建立代價函數，然後通過優化方法迭代求解出最優的模型參數，然後測試驗證我們這個求解的模型的好壞，冥冥人海，滾滾紅塵，我們是否找到了最適合的那個她。
一、邏輯迴歸（LogisticRegression）
Logistic regression （邏輯迴歸）是當前業界比較常用的機器學習方法，用於估計某種事物的可能性。之前在經典之作《數學之美》中也看到了它用於廣告預測，也就是根據某廣告被用戶點擊的可能性，把最可能被用戶點擊的廣告擺在用戶能看到的地方，然後叫他“你點我啊！”用戶點了，你就有錢收了。這就是爲什麼我們的電腦現在廣告氾濫的原因了。
還有類似的某用戶購買某商品的可能性，某病人患有某種疾病的可能性啊等等。這個世界是隨機的（當然了，人爲的確定性系統除外，但也有可能有噪聲或產生錯誤的結果，只是這個錯誤發生的可能性太小了，小到千萬年不遇，小到忽略不計而已），所以萬物的發生都可以用可能性或者機率（Odds）來表達。“機率”指的是某事物發生的可能性與不發生的可能性的比值。
Logistic regression可以用來回歸，也可以用來分類，主要是二分類。還記得上幾節講的支持向量機SVM嗎？它就是個二分類的例如，它可以將兩個不同類別的樣本給分開，思想是找到最能區分它們的那個分類超平面。但當你給一個新的樣本給它，它能夠給你的只有一個答案，你這個樣本是正類還是負類。例如你問SVM，某個女生是否喜歡你，它只會回答你喜歡或者不喜歡。這對我們來說，顯得太粗魯了，要不希望，要不絕望，這都不利於身心健康。那如果它可以告訴我，她很喜歡、有一點喜歡、不怎麼喜歡或者一點都不喜歡，你想都不用想了等等，告訴你她有49%的機率喜歡你，總比直接說她不喜歡你，來得溫柔。而且還提供了額外的信息，她來到你的身邊你有多少希望，你得再努力多少倍，知己知彼百戰百勝，哈哈。Logistic regression就是這麼溫柔的，它給我們提供的就是你的這個樣本屬於正類的可能性是多少。
還得來點數學。（更多的理解，請參閱參考文獻）假設我們的樣本是{x, y}，y是0或者1，表示正類或者負類，x是我們的m維的樣本特徵向量。那麼這個樣本x屬於正類，也就是y=1的“概率”可以通過下面的邏輯函數來表示：
這裏θ是模型參數，也就是迴歸係數，σ是sigmoid函數。實際上這個函數是由下面的對數機率（也就是x屬於正類的可能性和負類的可能性的比值的對數）變換得到的：
換句話說，y也就是我們關係的變量，例如她喜不喜歡你，與多個自變量（因素）有關，例如你人品怎樣、車子是兩個輪的還是四個輪的、長得勝過潘安還是和犀利哥有得一拼、有千尺豪宅還是三寸茅廬等等，我們把這些因素表示爲x1, x2,…, xm。那這個女的怎樣考量這些因素呢？最快的方式就是把這些因素的得分都加起來，最後得到的和越大，就表示越喜歡。但每個人心裏其實都有一杆稱，每個人考慮的因素不同，蘿蔔青菜，各有所愛嘛。例如這個女生更看中你的人品，人品的權值是0.6，不看重你有沒有錢，沒錢了一起努力奮鬥，那麼有沒有錢的權值是0.001等等。我們將這些對應x1, x2,…, xm的權值叫做迴歸係數，表達爲θ1, θ2,…, θm。他們的加權和就是你的總得分了。請選擇你的心儀男生，非誠勿擾！哈哈。
所以說上面的logistic迴歸就是一個線性分類模型，它與線性迴歸的不同點在於：爲了將線性迴歸輸出的很大範圍的數，例如從負無窮到正無窮，壓縮到0和1之間，這樣的輸出值表達爲“可能性”才能說服廣大民衆。當然了，把大值壓縮到這個範圍還有個很好的好處，就是可以消除特別冒尖的變量的影響（不知道理解的是否正確）。而實現這個偉大的功能其實就只需要平凡一舉，也就是在輸出加一個logistic函數。另外，對於二分類來說，可以簡單的認爲：如果樣本x屬於正類的概率大於0.5，那麼就判定它是正類，否則就是負類。實際上，SVM的類概率就是樣本到邊界的距離，這個活實際上就讓logistic regression給幹了。
所以說，LogisticRegression 就是一個被logistic方程歸一化後的線性迴歸，僅此而已。
好了，關於LR的八卦就聊到這。歸入到正統的機器學習框架下，模型選好了，只是模型的參數θ還是未知的，我們需要用我們收集到的數據來訓練求解得到它。那我們下一步要做的事情就是建立代價函數了。
LogisticRegression最基本的學習算法是最大似然。啥叫最大似然，可以看看我的另一篇博文“從最大似然到EM算法淺解”。
假設我們有n個獨立的訓練樣本{(x1, y1) ,(x2, y2),…, (xn, yn)}，y={0, 1}。那每一個觀察到的樣本(xi, yi)出現的概率是：
上面爲什麼是這樣呢？當y=1的時候，後面那一項是不是沒有了，那就只剩下x屬於1類的概率，當y=0的時候，第一項是不是沒有了，那就只剩下後面那個x屬於0的概率（1減去x屬於1的概率）。所以不管y是0還是1，上面得到的數，都是(x, y)出現的概率。那我們的整個樣本集，也就是n個獨立的樣本出現的似然函數爲（因爲每個樣本都是獨立的，所以n個樣本出現的概率就是他們各自出現的概率相乘）：
那最大似然法就是求模型中使得似然函數最大的係數取值θ*。這個最大似然就是我們的代價函數（cost function）了。
OK，那代價函數有了，我們下一步要做的就是優化求解了。我們先嚐試對上面的代價函數求導，看導數爲0的時候可不可以解出來，也就是有沒有解析解，有這個解的時候，就皆大歡喜了，一步到位。如果沒有就需要通過迭代了，耗時耗力。
我們先變換下L(θ)：取自然對數，然後化簡（不要看到一堆公式就害怕哦，很簡單的哦，只需要耐心一點點，自己動手推推就知道了。注：有xi的時候，表示它是第i個樣本，下面沒有做區分了，相信你的眼睛是雪亮的），得到：
這時候，用L(θ)對θ求導，得到：
然後我們令該導數爲0，你會很失望的發現，它無法解析求解。不信你就去嘗試一下。所以沒辦法了，只能藉助高大上的迭代來搞定了。這裏選用了經典的梯度下降算法。
二、優化求解
2.1、梯度下降(gradient descent)
Gradient descent 又叫 steepest descent，是利用一階的梯度信息找到函數局部最優解的一種方法，也是機器學習裏面最簡單最常用的一種優化方法。它的思想很簡單，和我開篇說的那樣，要找最小值，我只需要每一步都往下走（也就是每一步都可以讓代價函數小一點），然後不斷的走，那肯定能走到最小值的地方，例如下圖所示：
但，我同時也需要更快的到達最小值啊，怎麼辦呢？我們需要每一步都找下坡最快的地方，也就是每一步我走某個方向，都比走其他方法，要離最小值更近。而這個下坡最快的方向，就是梯度的負方向了。
對logistic Regression來說，梯度下降算法新鮮出爐，如下：
其中，參數α叫學習率，就是每一步走多遠，這個參數蠻關鍵的。如果設置的太多，那麼很容易就在最優值附加徘徊，因爲你步伐太大了。例如要從廣州到上海，但是你的一步的距離就是廣州到北京那麼遠，沒有半步的說法，自己能邁那麼大步，是幸運呢？還是不幸呢？事物總有兩面性嘛，它帶來的好處是能很快的從遠離最優值的地方回到最優值附近，只是在最優值附近的時候，它有心無力了。但如果設置的太小，那收斂速度就太慢了，向蝸牛一樣，雖然會落在最優的點，但是這速度如果是猴年馬月，我們也沒這耐心啊。所以有的改進就是在這個學習率這個地方下刀子的。我開始迭代是，學習率大，慢慢的接近最優值的時候，我的學習率變小就可以了。所謂採兩者之精華啊！這個優化具體見2.3 。
梯度下降算法的僞代碼如下：
#
初始化迴歸係數爲1
重複下面步驟直到收斂{
計算整個數據集的梯度
使用alpha x gradient來更新迴歸係數
}
返回迴歸係數值
#
注：因爲本文中是求解的Logit迴歸的代價函數是似然函數，需要最大化似然函數。所以我們要用的是梯度上升算法。但因爲其和梯度下降的原理是一樣的，只是一個是找最大值，一個是找最小值。找最大值的方向就是梯度的方向，最小值的方向就是梯度的負方向。不影響我們的說明，所以當時自己就忘了改過來了，謝謝評論下面@wxltt的指出。另外，最大似然可以通過取負對數，轉化爲求最小值。代碼裏面的註釋也是有誤的，寫的代碼是梯度上升，註銷成了梯度下降，對大家造成的不便，希望大家海涵。
2.2、隨機梯度下降SGD (stochastic gradient descent)
梯度下降算法在每次更新迴歸係數的時候都需要遍歷整個數據集（計算整個數據集的迴歸誤差），該方法對小數據集尚可。但當遇到有數十億樣本和成千上萬的特徵時，就有點力不從心了，它的計算複雜度太高。改進的方法是一次僅用一個樣本點（的迴歸誤差）來更新迴歸係數。這個方法叫隨機梯度下降算法。由於可以在新的樣本到來的時候對分類器進行增量的更新（假設我們已經在數據庫A上訓練好一個分類器h了，那新來一個樣本x。對非增量學習算法來說，我們需要把x和數據庫A混在一起，組成新的數據庫B，再重新訓練新的分類器。但對增量學習算法，我們只需要用新樣本x來更新已有分類器h的參數即可），所以它屬於在線學習算法。與在線學習相對應，一次處理整個數據集的叫“批處理”。
隨機梯度下降算法的僞代碼如下：
#
初始化迴歸係數爲1
重複下面步驟直到收斂{
對數據集中每個樣本
計算該樣本的梯度
使用alpha xgradient來更新迴歸係數
}
返回迴歸係數值
#
2.3、改進的隨機梯度下降
評價一個優化算法的優劣主要是看它是否收斂，也就是說參數是否達到穩定值，是否還會不斷的變化？收斂速度是否快？
上圖展示了隨機梯度下降算法在200次迭代中（請先看第三和第四節再回來看這裏。我們的數據庫有100個二維樣本，每個樣本都對係數調整一次，所以共有200*100=20000次調整）三個迴歸係數的變化過程。其中係數X2經過50次迭代就達到了穩定值。但係數X1和X0到100次迭代後穩定。而且可恨的是係數X1和X2還在很調皮的週期波動，迭代次數很大了，心還停不下來。產生這個現象的原因是存在一些無法正確分類的樣本點，也就是我們的數據集並非線性可分，但我們的logistic regression是線性分類模型，對非線性可分情況無能爲力。然而我們的優化程序並沒能意識到這些不正常的樣本點，還一視同仁的對待，調整係數去減少對這些樣本的分類誤差，從而導致了在每次迭代時引發係數的劇烈改變。對我們來說，我們期待算法能避免來回波動，從而快速穩定和收斂到某個值。
對隨機梯度下降算法，我們做兩處改進來避免上述的波動問題：
1）在每次迭代時，調整更新步長alpha的值。隨着迭代的進行，alpha越來越小，這會緩解係數的高頻波動（也就是每次迭代係數改變得太大，跳的跨度太大）。當然了，爲了避免alpha隨着迭代不斷減小到接近於0（這時候，係數幾乎沒有調整，那麼迭代也沒有意義了），我們約束alpha一定大於一個稍微大點的常數項，具體見代碼。
2）每次迭代，改變樣本的優化順序。也就是隨機選擇樣本來更新迴歸係數。這樣做可以減少週期性的波動，因爲樣本順序的改變，使得每次迭代不再形成週期性。
改進的隨機梯度下降算法的僞代碼如下：
#
初始化迴歸係數爲1
重複下面步驟直到收斂{
對隨機遍歷的數據集中的每個樣本
隨着迭代的逐漸進行，減小alpha的值
計算該樣本的梯度
使用alpha x gradient來更新迴歸係數
}
返回迴歸係數值
#
比較原始的隨機梯度下降和改進後的梯度下降，可以看到兩點不同：
1）係數不再出現週期性波動。2）係數可以很快的穩定下來，也就是快速收斂。這裏只迭代了20次就收斂了。而上面的隨機梯度下降需要迭代200次才能穩定。
三、Python實現
我使用的Python是2.7.5版本的。附加的庫有Numpy和Matplotlib。具體的安裝和配置見前面的博文。在代碼中已經有了比較詳細的註釋了。不知道有沒有錯誤的地方，如果有，還望大家指正（每次的運行結果都有可能不同）。裏面我寫了個可視化結果的函數，但只能在二維的數據上面使用。直接貼代碼：
logRegression.py
[python] view plaincopy在CODE上查看代碼片派生到我的代碼片
###########################################
logRegression: Logistic Regression
Author : zouxy
Date : 2014-03-02
HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
Email : [email protected]
###########################################
from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt
import time
calculate the sigmoid function
def sigmoid(inX):
return 1.0 / (1 + exp(-inX))
train a logistic regression model using some optional optimize algorithm
input: train_x is a mat datatype, each row stands for one sample
train_y is mat datatype too, each row is the corresponding label
opts is optimize option include step and maximum number of iterations
def trainLogRegres(train_x, train_y, opts):
# calculate training time
startTime = time.time()
numSamples, numFeatures = shape(train_x)
alpha = opts['alpha']; maxIter = opts['maxIter']
weights = ones((numFeatures, 1))
# optimize through gradient descent algorilthm
for k in range(maxIter):
if opts['optimizeType'] == 'gradDescent': # gradient descent algorilthm
output = sigmoid(train_x * weights)
error = train_y - output
weights = weights + alpha * train_x.transpose() * error
elif opts['optimizeType'] == 'stocGradDescent': # stochastic gradient descent
for i in range(numSamples):
output = sigmoid(train_x[i, :] * weights)
error = train_y[i, 0] - output
weights = weights + alpha * train_x[i, :].transpose() * error
elif opts['optimizeType'] == 'smoothStocGradDescent': # smooth stochastic gradient descent
# randomly select samples to optimize for reducing cycle fluctuations
dataIndex = range(numSamples)
for i in range(numSamples):
alpha = 4.0 / (1.0 + k + i) + 0.01
randIndex = int(random.uniform(0, len(dataIndex)))
output = sigmoid(train_x[randIndex, :] * weights)
error = train_y[randIndex, 0] - output
weights = weights + alpha * train_x[randIndex, :].transpose() * error
del(dataIndex[randIndex]) # during one interation, delete the optimized sample
else:
raise NameError('Not support optimize method type!')
print 'Congratulations, training complete! Took %fs!' % (time.time() - startTime)
return weights
test your trained Logistic Regression model given test set
def testLogRegres(weights, test_x, test_y):
numSamples, numFeatures = shape(test_x)
matchCount = 0
for i in xrange(numSamples):
predict = sigmoid(test_x[i, :] * weights)[0, 0] > 0.5
if predict == bool(test_y[i, 0]):
matchCount += 1
accuracy = float(matchCount) / numSamples
return accuracy
show your trained logistic regression model only available with 2-D data
def showLogRegres(weights, train_x, train_y):
# notice: train_x and train_y is mat datatype
numSamples, numFeatures = shape(train_x)
if numFeatures != 3:
print “Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!”
return 1
# draw all samples
for i in xrange(numSamples):
if int(train_y[i, 0]) == 0:
plt.plot(train_x[i, 1], train_x[i, 2], 'or')
elif int(train_y[i, 0]) == 1:
plt.plot(train_x[i, 1], train_x[i, 2], 'ob')
# draw the classify line
min_x = min(train_x[:, 1])[0, 0]
max_x = max(train_x[:, 1])[0, 0]
weights = weights.getA() # convert mat to array
y_min_x = float(-weights[0] - weights[1] * min_x) / weights[2]
y_max_x = float(-weights[0] - weights[1] * max_x) / weights[2]
plt.plot([min_x, max_x], [y_min_x, y_max_x], '-g')
plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2')
plt.show()
四、測試結果
測試代碼：
test_logRegression.py
[python] view plaincopy在CODE上查看代碼片派生到我的代碼片
###########################################
logRegression: Logistic Regression
Author : zouxy
Date : 2014-03-02
HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
Email : [email protected]
###########################################
from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt
import time
def loadData():
train_x = []
train_y = []
fileIn = open(‘E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt’)
for line in fileIn.readlines():
lineArr = line.strip().split()
train_x.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
train_y.append(float(lineArr[2]))
return mat(train_x), mat(train_y).transpose()
step 1: load data
print “step 1: load data…”
train_x, train_y = loadData()
test_x = train_x; test_y = train_y
step 2: training…
print “step 2: training…”
opts = {‘alpha’: 0.01, ‘maxIter’: 20, ‘optimizeType’: ‘smoothStocGradDescent’}
optimalWeights = trainLogRegres(train_x, train_y, opts)
step 3: testing
print “step 3: testing…”
accuracy = testLogRegres(optimalWeights, test_x, test_y)
step 4: show the result
print “step 4: show the result…”
print ‘The classify accuracy is: %.3f%%’ % (accuracy * 100)
showLogRegres(optimalWeights, train_x, train_y)
測試數據是二維的，共100個樣本。有2個類。如下：
testSet.txt
[python] view plaincopy在CODE上查看代碼片派生到我的代碼片
-0.017612 14.053064 0
-1.395634 4.662541 1
-0.752157 6.538620 0
-1.322371 7.152853 0
0.423363 11.054677 0
0.406704 7.067335 1
0.667394 12.741452 0
-2.460150 6.866805 1
0.569411 9.548755 0
-0.026632 10.427743 0
0.850433 6.920334 1
1.347183 13.175500 0
1.176813 3.167020 1
-1.781871 9.097953 0
-0.566606 5.749003 1
0.931635 1.589505 1
-0.024205 6.151823 1
-0.036453 2.690988 1
-0.196949 0.444165 1
1.014459 5.754399 1
1.985298 3.230619 1
-1.693453 -0.557540 1
-0.576525 11.778922 0
-0.346811 -1.678730 1
-2.124484 2.672471 1
1.217916 9.597015 0
-0.733928 9.098687 0
-3.642001 -1.618087 1
0.315985 3.523953 1
1.416614 9.619232 0
-0.386323 3.989286 1
0.556921 8.294984 1
1.224863 11.587360 0
-1.347803 -2.406051 1
1.196604 4.951851 1
0.275221 9.543647 0
0.470575 9.332488 0
-1.889567 9.542662 0
-1.527893 12.150579 0
-1.185247 11.309318 0
-0.445678 3.297303 1
1.042222 6.105155 1
-0.618787 10.320986 0
1.152083 0.548467 1
0.828534 2.676045 1
-1.237728 10.549033 0
-0.683565 -2.166125 1
0.229456 5.921938 1
-0.959885 11.555336 0
0.492911 10.993324 0
0.184992 8.721488 0
-0.355715 10.325976 0
-0.397822 8.058397 0
0.824839 13.730343 0
1.507278 5.027866 1
0.099671 6.835839 1
-0.344008 10.717485 0
1.785928 7.718645 1
-0.918801 11.560217 0
-0.364009 4.747300 1
-0.841722 4.119083 1
0.490426 1.960539 1
-0.007194 9.075792 0
0.356107 12.447863 0
0.342578 12.281162 0
-0.810823 -1.466018 1
2.530777 6.476801 1
1.296683 11.607559 0
0.475487 12.040035 0
-0.783277 11.009725 0
0.074798 11.023650 0
-1.337472 0.468339 1
-0.102781 13.763651 0
-0.147324 2.874846 1
0.518389 9.887035 0
1.015399 7.571882 0
-1.658086 -0.027255 1
1.319944 2.171228 1
2.056216 5.019981 1
-0.851633 4.375691 1
-1.510047 6.061992 0
-1.076637 -3.181888 1
1.821096 10.283990 0
3.010150 8.401766 1
-1.099458 1.688274 1
-0.834872 -1.733869 1
-0.846637 3.849075 1
1.400102 12.628781 0
1.752842 5.468166 1
0.078557 0.059736 1
0.089392 -0.715300 1
1.825662 12.693808 0
0.197445 9.744638 0
0.126117 0.922311 1
-0.679797 1.220530 1
0.677983 2.556666 1
0.761349 10.693862 0
-2.168791 0.143632 1
1.388610 9.341997 0
0.317029 14.739025 0
訓練結果：
(a)梯度下降算法迭代500次。(b)隨機梯度下降算法迭代200次。(c)改進的隨機梯度下降算法迭代20次。(d)改進的隨機梯度下降算法迭代200次。
五、參考文獻
[1] Logisticregression （邏輯迴歸） 概述
[2] LogisticRegression 之基礎知識準備
[3] LogisticRegression
