算法記錄---最小生成樹【kruskal&&prim】

生成樹

給定一個無向圖，如果它的某個子圖中任意兩個頂點都互相連通並且是一棵樹。

生成樹不唯一

 

最小生成樹：

如果邊上有權值，那麼使得權值和最小的生成樹叫做最小生成樹

構造最小生成樹的準則:

1.必須使用且僅使用該網絡中的n-1 條邊來聯結網絡中的 n 個頂點；

2.不能使用產生迴路的邊；

3.各邊上的權值的總和達到最小。

兩種常用的構造最小生成樹的方法：

1.克魯斯卡爾算法（從邊入手）

2.普里姆算法（從點入手

克魯斯卡爾： 在剩下的所有未選取的邊中，找最小邊，如果不產生環（重邊也算在內），就把當前這條邊加入到生成樹中，如果和已選取的邊構成迴路，則放棄，選取次小邊。（判斷是否成環：運用並查集）

基本思想

   先構造一個只含 n 個頂點、而邊集爲空的子圖，把子圖中各個頂點看成各棵樹上的根結點（即這n個頂點都是獨立的），之後，從網的邊集 E 中選取一條權值最小的邊，若該條邊的兩個頂點分屬不同的樹，則將其加入子圖，即把兩棵樹合成一棵樹，反之，若該條邊的兩個頂點已落在同一棵樹上，則不可取，而應該取下一條權值最小的邊再試之。依次類推，直到森林中只有一棵樹，也即子圖中含有 n-1 條邊爲止。
　　時間複雜度爲爲O(e^2), 使用並查集優化後複雜度爲 O（eloge），與網中的邊數有關，適用於求邊稀疏的網的最小生成樹

 

例：hdoj-1233 還是暢通工程  點擊打開鏈接

 

 

普里姆算法：.先選取一個點作起始點，然後選擇它鄰近的權值最小的點（如果有多個與其相連的相同最小權值的點，隨便選取一個）。如1作爲起點。

基本思想：

    從連通網絡 N = { V, E }中的某一頂點 u0 出發, 選擇與它關聯的具有最小權值的邊 ( u0, v ), 將其頂點加入到生成樹頂點集合U中。

    以後每一步從一個頂點在 U 中,而另一個頂點不在 U 中的各條邊中選擇權值最小的邊(u, v), 把它的頂點加入到集合 U 中。如此繼續下去, 直到網絡中的所有頂點都加入到生成樹頂點集合 U 中爲止。 （從點查找）

採用鄰接矩陣或鄰接表作爲圖的存儲表示  

當各邊有相同權值時，由於選擇的隨意性，產生的生成樹可能不唯一。當各邊的權值不相同時，產生的生成樹是唯一的。

 

例：