堆排序

选择排序

选择排序的基本思路是：每次都从原序列中顺序查找出最小的元素，放入新的序列的下一个位置（在具体实现中，一般是还是放在原序列中，采用依次交换位置的方法）。这种最简单实现的选择排序时间复杂度为$O(n^2)$。有没有效率更高的基于选择的排序算法呢？堆排序就是一种，与选择排序一样，堆排序是每次从原序列中取出最大（或最小）的元素，不同的是堆排序使用了堆这一数据结构，每次取出最大（最小）元素仅需O(log(n))，效率有所提高。

堆排序

排序方法非常多，这里的堆排序很好理解，就是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。具体排序思路如下：假定是升序排序，利用堆的性质，先由待排序数组构造最大堆，满足堆性质后，因为根节点是最大值，所以每次弹出根节点，即为有序数组，但这样描述不是十分严谨，比较严谨的描述如下：

1. 构造最大堆。
2. 交换数组中第一个元素（堆中根节点元素）和数组中最后一个元素，数组长度减一。
3. 执行“下移”操作，将第一个元素“下移”到满足堆性质。
4. 不断执行步骤2，直到最后仅剩一个元素。

时间复杂度分析：构造堆O(n)，依次弹出根节点，共n次，每次的时间复杂度O(log(n))，所以有O(n+nlog(n))=O(nlog(n))。空间复杂度O(1)。

具体实现

算法描述如下：

// a为带排序数组， count元素个数
procedure heapsort(a, count)
    heapify(a, count);   // 构造堆

    end = count - 1;
    while end > 0
        swap(a[end], a[0]);
        end = end - 1;
        siftDown(a, 0, end);

// 将数组堆化， a为待排序数组， count元素个数
procedure heapify(a, count) 
    // 这里元素在数组中的位置从0开始， iParent(count-1)指的是最后一个元素的父节点
    start = iParent(count-1)
    while start >= 0 do
        siftDown(a, start, count-1)
        start = start - 1   //下一个非叶子节点

// 堆根节点为start的堆进行堆化（保证父节点大于等于子节点）
procedure siftDown(a, start, end)
    root = start
    while iLeftChild(root) <= end
        // 其实这块主要是选左右子节点中最大的一个，与之交换，代码实现有很多方法，这里只是其中一种
        child = iLeftChild(root)
        swap = root 

        if a[swap] < a[child]
            swap = child
        if child+1 <= end and a[swap] < a[child+1]  // 如果右子节点存在且大于左子节点大于父节点，就设置swap为右子节点
            swap = child + 1
        if swap = root
            return  // 已满足堆性质，返回
        else
            swap(a[root], a[swap])
            root = swap

具体实现代码见heapsort.cpp。

与其他排序算法的比较

堆排序经常与快排进行比较，他们的平均时间复杂度都为O(nlog(n))，但一般情况下，快排是较堆排序快一些的，分析时比较容易忽视的一点是局部性原理，这也是cache设计的依据，堆排序相比快排对“局部性”不友好，这个从siftDown的过程就可以看出来，其总是需要父子节点之间进行比较，当元素非常多时，父子节点在数组中的位置会相距非常大。

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Reference:
Heapsort