（譯）計算距離、方位和更多經緯度之間的點
計算距離、方位和更多經緯度之間的點。最近在研究預測未來座標和速度、時間之間的關係，希望這篇文章對地圖應用有所幫助。
作者：狐狸家的魚
本文鏈接：計算距離、方位和更多經緯度之間的點
原文鏈接：Calculate distance, bearing and more between Latitude/Longitude points
GitHub：sueRimn
該頁面介紹了對經緯度點的各種計算，以及實現它們的公式和代碼片段。
所有這些公式都是基於球形地球的計算（忽略橢球效應） - 大多數情況下都是準確的（事實上，地球是非常略微橢圓形的， 使用球形模型的誤差通常高達0.3%1 - 有關詳細信息，請參閱註釋）。
1、距離
這使用' hasrsine '公式1來計算兩點之間的大圓弧距離 - 即地球表面上的最短距離 - 給出點之間的最短距離。
hasrsine: a = sin²(Δφ/2) + cos φ1 ⋅ cos φ2 ⋅ sin²(Δλ/2)
公式: c = 2 ⋅ atan2( √a, √(1−a) )
d = R ⋅ c
其中φ爲緯度，λ爲經度，R爲地球半徑(平均半徑= 6,371km)。注意角度必須是弧度才能傳遞給三角函數!
JavaScript:
var R = 6371e3; // metres
var φ1 = lat1.toRadians();
var φ2 = lat2.toRadians();
var Δφ = (lat2-lat1).toRadians();
var Δλ = (lon2-lon1).toRadians();
var a = Math.sin(Δφ/2) * Math.sin(Δφ/2) +
Math.cos(φ1) * Math.cos(φ2) *
Math.sin(Δλ/2) * Math.sin(Δλ/2);
var c = 2 * Math.atan2(Math.sqrt(a), Math.sqrt(1-a));
var d = R * c;
在這些腳本中，我通常用 lat/lon 表示度，以 φ/λ 表示的距離/長度。發現混合度和半徑是經常讓人抓耳撓腮的問題。
即使在很小的距離條件下，“haversine”公式也可以很好的進行不同於基於餘弦球面定律的數值計算。
以上使用的"(重新)正矢"是 1−cosθ ，以及 “半正矢”是 (1−cosθ)/2 或者 sin²(θ/2)。曾被航海家廣泛使用，羅傑·辛諾特於1984年在《天空與望遠鏡》雜誌上對其進行了描述：辛諾特解釋說，大熊星座中Mizar（大熊星座中的一個恆星）和Alcor（北斗七星中的第五等星）之間的角間距(0°11’49.69”)可以通過使用haversine在TRS-80上精確計算出來。
奇怪的是，c是弧度的角距離，a是兩點弦長一半的平方。
如果 atan2 不可用, c 可以從 2 ⋅ asin( min(1, √a) ) 計算得出(包括防止四捨五入誤差)。
在中等核的i5個人電腦上使用Chrome，距離計算大約需要2 - 5微秒（因此大約每秒200,000 - 500,000次）。通過公因子分解幾乎沒有用，因爲JIT編譯器可能會對它們進行優化。
2、餘弦球面定律
事實上，JavaScript(以及大多數現代計算機和語言)使用提供了15個重要的精度數字的 “IEEE 754” 64位浮點數。據我估計，在簡單餘弦公式球面定律(cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C)的精度下給出了良好的結果，距離小到地球表面幾米。(注意，餘弦定律的大地測量形式是規範重新排列的，這樣就可以直接使用緯度，而不是用餘緯)。
這使得簡單餘弦定理可以在許多大地測量目的（如果不是天文學）中作爲 haversine 公式的另一個選擇。這種選擇可能是由編程語言、處理器、編碼上下文、可用地三角函數（在不同語言中）等驅動的，並且，在非常小地距離中。等矩形的近似值可能更合適。
餘弦定理 ：d = acos( sin φ1 ⋅ sin φ2 + cos φ1 ⋅ cos φ2 ⋅ cos Δλ ) ⋅ R
JavaScript:
var φ1 = lat1.toRadians(), φ2 = lat2.toRadians(), Δλ = (lon2-lon1).toRadians(), R = 6371e3; // gives d in metres
var d = Math.acos( Math.sin(φ1)*Math.sin(φ2) + Math.cos(φ1)*Math.cos(φ2) * Math.cos(Δλ) ) * R;
Excel:
=ACOS( SIN(lat1)*SIN(lat2) + COS(lat1)*COS(lat2)*COS(lon2-lon1) ) * 6371000
(or with lat/lon in degrees):
=ACOS( SIN(lat1*PI()/180)*SIN(lat2*PI()/180) + COS(lat1*PI()/180)*COS(lat2*PI()/180)*COS(lon2*PI()/180-lon1*PI()/180) ) * 6371000
雖然比較簡單,但在我的測試中,餘弦定理比 haversine 略慢。
3、等矩形近似值
如果性能是一個問題,準確性就不那麼重要了。在很小距離上，勾股定理可以在這個等矩形投影中使用：
公式： x = Δλ ⋅ cos φm
y = Δφ
d = R ⋅ √x² + y²
JavaScript:
var x = (λ2-λ1) * Math.cos((φ1+φ2)/2);
var y = (φ2-φ1);
var d = Math.sqrt(x*x + y*y) * R;
這僅僅使用一個三角函數和一個根號函數，而cos定律中有6個三角函數，而 haversine 中有7個三角函數+ 2根號函數。精度有點複雜:沿着子午線沒有誤差，否則它們依賴於距離、方位和緯度，但對於許多用途來說足夠小(通常與球面近似本身相比微不足道)。
此外，還可以使用極座標平面地球公式：使用餘緯 θ1 = π/2−φ1 and θ2 = π/2−φ2，然後 θ1 = π/2−φ1 and θ2 = π/2−φ2。我沒有 比較精度。
4、方位
一般來說，當你沿着一個大圓弧路徑(直角方向)移動時，當前朝向會發生變化。根據距離和緯度的不同，最終的航向與最初的航向會有不同程度的差異（比如從35°N 45°E(≈Baghdad)到35°N 135°E(≈Osaka),你會從一個60°的航向開始，最終到達一個120°的航向)。
這個公式適用於如果初始方位(有時稱爲前方位角)沿着大圓弧走一條直線，你會從起點走到終點1：
公式： θ = atan2( sin Δλ ⋅ cos φ2 , cos φ1 ⋅ sin φ2 − sin φ1 ⋅ cos φ2 ⋅ cos Δλ )
φ1,λ1是起點,φ2,λ2是終點(Δλ是經度的差異)
JavaScript:
(all angles in radians)
var y = Math.sin(λ2-λ1) * Math.cos(φ2);
var x = Math.cos(φ1)*Math.sin(φ2) -
Math.sin(φ1)*Math.cos(φ2)*Math.cos(λ2-λ1);
var brng = Math.atan2(y, x).toDegrees();
Excel:
(all angles in radians)
=ATAN2(COS(lat1)*SIN(lat2)-SIN(lat1)*COS(lat2)*COS(lon2-lon1),
SIN(lon2-lon1)*COS(lat2))
注意，Excel將參數轉換爲ATAN2—請參閱下面的註釋
由於 atan2 返回值範圍中的值-π……+π(-180°…+180°)，將結果正常化爲羅盤方位(範圍爲0°…360°，- ve值轉換爲180°範圍…360°),轉換爲度,然後使用(θ+ 360)% 360,%是(浮點數)模。
對最後的方位,只是把初始方位從終點到起點並反轉它(使用θ=θ+ 180)% 360)。
5、中點
這是兩點之間沿大圓路徑的中點1。
公式： Bx = cos φ2 ⋅ cos Δλ
By = cos φ2 ⋅ sin Δλ
φm = atan2( sin φ1 + sin φ2, √(cos φ1 + Bx)² + By² )
λm = λ1 + atan2(By, cos(φ1)+Bx)
JavaScript:
(all angles in radians)
var Bx = Math.cos(φ2) * Math.cos(λ2-λ1);
var By = Math.cos(φ2) * Math.sin(λ2-λ1);
var φ3 = Math.atan2(Math.sin(φ1) + Math.sin(φ2),
Math.sqrt( (Math.cos(φ1)+Bx)*(Math.cos(φ1)+Bx) +By*By ) );
var λ3 = λ1 + Math.atan2(By, Math.cos(φ1) + Bx);
經度可以使用(lon+540)%360-180歸一化爲-180…+180
正如初始方位可能與最終方位不同，中點也可能不在經緯度之間。35°N、45°E和35°N、135°E之間的中點在45°N、90°E附近。
6、中間點
也可以計算出兩點之間沿大圓弧路徑上任意處的中間點1。
公式：a = sin((1−f)⋅δ) / sin δ
b = sin(f⋅δ) / sin δ
x = a ⋅ cos φ1 ⋅ cos λ1 + b ⋅ cos φ2 ⋅ cos λ2
y = a ⋅ cos φ1 ⋅ sin λ1 + b ⋅ cos φ2 ⋅ sin λ2
z = a ⋅ sin φ1 + b ⋅ sin φ2
φi = atan2(z, √x² + y²)
λi = atan2(y, x)
f是沿大圓航線的一部分(f = 0是點1,f = 1是點2),δ是兩點之間的角距離d / R。
7、目標點給出從起點到終點的距離和方位方位
已知一個起始點、初始方位和距離，這將計算沿着(最短距離)大圓弧運動的終點和最終方位。
公式：φ2 = asin( sin φ1 ⋅ cos δ + cos φ1 ⋅ sin δ ⋅ cos θ )
λ2 = λ1 + atan2( sin θ ⋅ sin δ ⋅ cos φ1, cos δ − sin φ1 ⋅ sin φ2 )
φ是緯度，λ是經度，θ是軸承方位(順時針從北),δ是角距離d / R，d是經過的距離，R是地球的半徑
JavaScript:
(all angles in radians)
var φ2 = Math.asin( Math.sin(φ1)*Math.cos(d/R) +
Math.cos(φ1)*Math.sin(d/R)*Math.cos(brng) );
var λ2 = λ1 +Math.atan2(Math.sin(brng)*Math.sin(d/R)*Math.cos(φ1),
Math.cos(d/R)-Math.sin(φ1)*Math.sin(φ2));
經度可以使用 (lon+540)%360-180 規範化爲 -180…+180
Excel:
(all angles in radians)
lat2: =ASIN(SIN(lat1)*COS(d/R) + COS(lat1)*SIN(d/R)*COS(brng))
lon2: =lon1 + ATAN2(COS(d/R)-SIN(lat1)*SIN(lat2), SIN(brng)*SIN(d/R)*COS(lat1)) * Remember that Excel reverses the arguments to ATAN2 – see notes below
對於最終方位，只需將初始方位從起點移到起點，然後用(brng+180)%360將其反轉。
9、給定起點和方位兩條路徑的交點
這是一個比這一頁上的大多數計算要複雜得多的計算，但是我已經被問過很多次了。這來自埃德·威廉的航空公式。參見下面的JavaScript。
公式： δ12 = 2⋅asin( √(sin²(Δφ/2) + cos φ1 ⋅ cos φ2 ⋅ sin²(Δλ/2)) ) （角距離. p1–p2）
θa = acos( ( sin φ2 − sin φ1 ⋅ cos δ12 ) / ( sin δ12 ⋅ cos φ1 ) ) （初始/ 最終 方位）
θa = acos( ( sin φ2 − sin φ1 ⋅ cos δ12 ) / ( sin δ12 ⋅ cos φ1 ) ) （點1和點2之間）
if sin(λ2−λ1) > 0
θ12 = θa
θ21 = 2π − θb
else
θ12 = 2π − θa
θ21 = θb
α1 = θ13 − θ12 （角度 p2–p1–p3）
α2 = θ21 − θ23 （角度 p1–p2–p3）
α3 = acos( −cos α1 ⋅ cos α2 + sin α1 ⋅ sin α2 ⋅ cos δ12 ) （角度 p1–p2–p3）
δ13 = atan2( sin δ12 ⋅ sin α1 ⋅ sin α2 , cos α2 + cos α1 ⋅ cos α3 ) （角距離 p1–p3）
φ3 = asin( sin φ1 ⋅ cos δ13 + cos φ1 ⋅ sin δ13 ⋅ cos θ13 ) （p3緯度）
Δλ13 = atan2( sin θ13 ⋅ sin δ13 ⋅ cos φ1 , cos δ13 − sin φ1 ⋅ sin φ3 ) （經度p1-p3）
λ3 = λ1 + Δλ13 (p3 經度)
φ1、λ1、θ13：1起點&(初始)軸承從1日指向交點
φ2、λ2、θ23：2日起點&(初始)軸承2指向交點
φ3、λ3：交點
% =(浮點數)模
如果sin α1= 0 以及 sin α2 = 0：無窮多解，如果sin α1 ⋅ sin α2 < 0：歧義解。這個公式並不總是適用於經向線或赤道線。
用向量比用球面三角簡單多了： latlong-vectors.html.
10、航跡距離
這是一個新的問題：有時我被問到關於一個點到大圓弧路徑的距離(有時稱爲交叉軌跡誤差)。
公式： dxt = asin( sin(δ13) ⋅ sin(θ13−θ12) ) ⋅ R
δ13是(角)距離起點第三點
θ13是(初始)軸承從起點到第三點
θ12是(初始)軸承從起點到終點
R是地球的半徑
JavaScript:
var δ13 = d13 / R;
var dAt = Math.acos(Math.cos(δ13)/Math.cos(dXt/R)) * R;
11、離兩極最近的點
“克萊勞公式”會用給出的方位 θ 和最大圓上的緯度 φ，計算出一個大圓弧路徑的最大緯度：
公式：φmax = acos( | sin θ ⋅ cos φ | )
JavaScript:
var φMax = Math.acos(Math.abs(Math.sin(θ)*Math.cos(φ)));
12、恆向線
“恆向線”(或斜航線)是一條恆定方位的路徑，它以相同的角度穿過所有子午線。
水手們過去常常(現在有時仍然)沿着恆向線航行，因爲跟隨着一個恆定的羅盤方位比跟隨繞一個大圓需要不斷調整方位要容易得多。等高線是墨卡託投影圖上的直線(也有助於導航)。
等高線一般比大圓線長。例如，從倫敦到紐約，沿一條斜脊線比沿一個大圓要長4%——這對航空燃料很重要，但對帆船來說並不特別重要。從紐約到北京——接近可能的最極端的例子(雖然不能航行)——沿着一條斜脊線要長30%。
計算恆向線的關鍵是範德曼函數，它給出了已知緯度的墨卡託投影地圖上的高度：ln(tanφ + secφ) 或是 ln( tan(π/4+φ/2) )。當然，這在兩極是趨於無窮的(與墨卡託投影一致)。對於強迫症患者,甚至有一個橢圓形的版本,“等量緯度”：ψ= ln (tan(π/ 4 +φ/ 2)/ ((1−e⋅sinφ)/ (1 + e⋅sinφ)]e / 2)，或其更好的等值於 ψ= atanh (sinφ)−e⋅atanh (e⋅sinφ)。
該公式從球形緯度和經度座標推算出墨卡託投影以東和以北值，然後：
E = R ⋅ λ
N = R ⋅ ln( tan(π/4 + φ/2) )
以下公式來源於埃德·威廉姆斯的航空公式1。
1.距離
由於恆向線是墨卡託投影上的直線，沿恆向線的兩點之間的距離就是該線的長度(畢達哥拉斯)，但是項目的失真需要得到補償。
按固定緯度航行(東西航行)，cosφ 補償很簡單，通常情況下，它是Δφ/Δψ，Δψ = ln( tan(π/4 + φ2/2) / tan(π/4 + φ1/2) ) （“投影”緯度差）
公式：Δψ = ln( tan(π/4 + φ2/2) / tan(π/4 + φ1/2) ) （“投影”緯度差）
q = Δφ/Δψ (or cosφ for E-W line)
d = √(Δφ² + q²⋅Δλ²) ⋅ R
φ是緯度,λ是經度,Δλ是正在走的最短路線(< 180°),R是地球的半徑,ln是自然對數
JavaScript:
(all angles in radians)
var Δψ =Math.log(Math.tan(Math.PI/4+φ2/2)/Math.tan(Math.PI/4+φ1/2));
var q = Math.abs(Δψ) > 10e-12 ? Δφ/Δψ : Math.cos(φ1); // E-W course becomes ill-conditioned with 0/0
// if dLon over 180° take shorter rhumb line across the anti-meridian:
if (Math.abs(Δλ) > Math.PI) Δλ = Δλ>0 ? -(2*Math.PI-Δλ) : (2*Math.PI+Δλ);
var dist = Math.sqrt(Δφ*Δφ + q*q*Δλ*Δλ) * R;
2.方位
恆向線是墨卡託投影上的一條直線，其投影角度與羅盤方位相等。
公式：Δψ = ln( tan(π/4 + φ2/2) / tan(π/4 + φ1/2) ) （“投影”緯度差）
θ = atan2(Δλ, Δψ)
φ是緯度,λ是經度,Δλ是正在走的最短路線(< 180°),R是地球的半徑,ln是自然對數
JavaScript:
(all angles in radians)
var Δψ =Math.log(Math.tan(Math.PI/4+φ2/2)/Math.tan(Math.PI/4+φ1/2));
// if dLon over 180° take shorter rhumb line across the anti-meridian:
if (Math.abs(Δλ) > Math.PI) Δλ = Δλ>0 ? -(2*Math.PI-Δλ) : (2*Math.PI+Δλ);
var brng = Math.atan2(Δλ, Δψ).toDegrees();
3.終點
給定一個起點和一個距離d和不變的方位θ,這將計算出終點。如果你沿着一條等高線保持恆定的方位，你就會逐漸地向其中一個極點螺旋靠近。
公式：δ = d/R （角距離）
φ2 = φ1 + δ ⋅ cos θ
Δψ = ln( tan(π/4 + φ2/2) / tan(π/4 + φ1/2) ) （“投影”緯度差）
q = Δφ/Δψ (or cos φ for E-W line)
Δλ = δ ⋅ sin θ / q
λ2 = λ1 + Δλ
φ是緯度,λ是經度,Δλ是正在走的最短路線(< 180°),ln是自然對數,R是地球的半徑
JavaScript:
(all angles in radians)
var δ = d/R;
var Δφ = δ * Math.cos(θ);
var φ2 = φ1 + Δφ;
var Δψ =Math.log(Math.tan(φ2/2+Math.PI/4)/Math.tan(φ1/2+Math.PI/4));
var q = Math.abs(Δψ) > 10e-12 ? Δφ / Δψ : Math.cos(φ1); // E-W course becomes ill-conditioned with 0/0
var Δλ = δ*Math.sin(θ)/q;
var λ2 = λ1 + Δλ;
// check for some daft bugger going past the pole, normalise latitude if so
if (Math.abs(φ2) > Math.PI/2) φ2 = φ2>0 ? Math.PI-φ2 : -Math.PI-φ2;
4.中間點
這個計算“斜向中點”的公式是由羅伯特·希爾(Robert Hill)和克萊夫·圖特(Clive Tooth1) (thx Axel!)推導出來的。
公式：φm = (φ1+φ2) / 2
f1 = tan(π/4 + φ1/2)
f2 = tan(π/4 + φ2/2)
fm = tan(π/4+φm/2)
λm = [ (λ2−λ1) ⋅ ln(fm) + λ1 ⋅ ln(f2) − λ2 ⋅ ln(f1) ] / ln(f2/f1)
φ是緯度,經度λ,ln是自然對數
JavaScript:
(all angles in radians)
if (Math.abs(λ2-λ1) > Math.PI) λ1 += 2*Math.PI; // crossing anti-meridian
var φ3 = (φ1+φ2)/2;
var f1 = Math.tan(Math.PI/4 + φ1/2);
var f2 = Math.tan(Math.PI/4 + φ2/2);
var f3 = Math.tan(Math.PI/4 + φ3/2);
var λ3 = ( (λ2-λ1)*Math.log(f3) + λ1*Math.log(f2) - λ2*Math.log(f1) ) / Math.log(f2/f1);
if (!isFinite(λ3)) λ3 = (λ1+λ2)/2; // parallel of latitude
經度可以使用(lon+540)%360-180規範化爲-180…+180。
5.在web頁面中使用腳本
在web頁面中使用這些腳本大致如下:
<!doctype html>
<html lang="en">
<head>
<title>Using the scripts in web pages</title>
<meta charset="utf-8">
<script type="module">
import LatLon from 'https://cdn.jsdelivr.net/gh/chrisveness/[email protected]/latlon-spherical.min.js';
document.addEventListener('DOMContentLoaded', function() {
document.querySelector('#calc-dist').onclick = function() {
calculateDistance();
}
});
function calculateDistance() {
const p1 = LatLon.parse(document.querySelector('#point1').value);
const p2 = LatLon.parse(document.querySelector('#point2').value);
const dist = parseFloat(p1.distanceTo(p2).toPrecision(4));
document.querySelector('#result-distance').textContent = dist + ' metres';
}
</script>
</head>
<body>
<form>
Point 1: <input type="text" name="point1" id="point1" placeholder="lat1,lon1">
Point 2: <input type="text" name="point2" id="point2" placeholder="lat2,lon2">
<button type="button" id="calc-dist">Calculate distance</button>
<output id="result-distance"></output>
</form>
</body>
</html>
請參閱下面JavaScript源代碼，也可以在GitHub上獲得。完整的文檔以及測試套件都是可用的。
6.筆記
（1）
精度：由於地球並不完全是一個球體，所以在使用球面幾何時存在小的誤差。地球實際上大致是橢球體(或者更精確地說，是扁圓球體)，半徑在6,378千米(赤道)和6,357千米(極地)之間變化，局部曲率半徑從6,336千米(赤道子午線)到6,399千米(極地)之間變化。6371千米是地球平均半徑的普遍接受值。這意味着，根據緯度和旅行方向的不同，假設球面幾何形狀穿越赤道的誤差可能高達0.55%，但一般低於0.3% (whuber在stackexchange上對此進行了詳細的研究)。對於我來說，1km中精度超過3m就足夠了，但是如果你想要更高的精度，你可以使用Vincenty公式來計算橢球體上的測地線距離，結果可以精確到1mm以內。(完全出於反常，我從來沒有需要過這麼精確的代碼，我查了一下這個公式，發現JavaScript實現比我預想的要簡單)。
（2）
三角函數以弧度爲參數，所以緯度、經度、和方位(十進制或度/分鐘/秒)需要轉換爲弧度，rad =π.deg / 180。當弧度轉換回度時(deg = 180.rad/π),如果使用帶符號的十進制度，則West爲負。對於方位，其在-π到+π(-180°+ 180°)的範圍需要轉換爲0到+ 2π(0°-360°)。這可以通過(brng+2.π)%2.π(或brng+360)%360)，%(浮點數)是模運算符(請注意,不同的語言以不同的方式實現模操作)。
（3）
所有方位均相對於正北，0°=N, 90°=E等。如果你用指南針工作，地磁北極從正北極以一種複雜的方式圍繞地球發生變化，這種差異必須由本地地圖上顯示的差異來補償。
（4）
這裏廣泛使用的atan2()函數接受兩個參數，atan2(y, x)，並計算比值y/x的反正切。它比atan(y/x)更靈活,因爲它處理x = 0,並且返回在所有4個象限的值-π+π(反正切函數返回在範圍-π/ 2 +π/ 2之間的值)。
（5）
如果你在電子表格（Microsoft Excel, LibreOffice Calc, Google Sheets, Apple Numbers）中使用任何公式包括atan2，你將需要反轉參數，如Excel等，它們與JavaScript相反，常規順序爲atan(y,x)，但是Excel使用atan2(x, y)。在（VBA）宏觀中使用 atan2，你可以用 WorksheetFunction.Atan2()。
（6）
如果您正在使用谷歌地圖，這些函數中的一些(computeDistanceBetween()、computeHeading()、computeOffset()、插值()等）現在在谷歌地圖 API V3“球面”庫中提供。注意，它們使用的默認地球半徑爲6,378,137米)。
（7）
如果你使用英國地形測量網格參考，我已經實現了一個腳本之間的轉換Lat/Long和OS網格參考。
（8）
如果您使用UTM座標或MGRS網格引用，我已經實現了用於在Lat/Long、UTM和MGRS之間轉換的腳本。
（9）
我從美國人口普查局的GIS FAQ中學到了很多，現在已經沒有了，所以我複製了一份。
（10）
感謝埃德·威廉姆斯的航空公式。
（11）
對於英里，用km除以1.609344。
（12）
對於海里，用km除以1.852。
7.計算工具
