Wavelet(續)

source: Wavelet Methods for Time Series Analysis

小波的本質

• wavelets，中文翻譯成小波，其實它就是 small waves 的意思，那什麼是大波呢， 正弦信號就是 big waves
• 滿足以下條件的實函數（記作，ψ(⋅) ）我們就稱之爲小波：
  
  • ψ(⋅) 的積分爲零：
    
    ∫∞−∞ψ(u)du=0
  • ψ(⋅) 平方的積分爲1：
    
    ∫∞−∞ψ2(u)du=1
• 那麼爲什麼說滿足以上條件就是 wavelet呢？
  
  • 假設上面的二式成立，那麼對於任何滿足 0<ϵ<1 的 ϵ , 一定存在一個有限區間 [−T,T] 使得
    
    ∫T−Tψ2(u)du<1−ϵ
  • 當 ϵ 非常接近零的時候，ψ(⋅) 在 [−T,T] 以外的區間上，幾乎是爲零的：因爲它的非零的部分基本上已經侷限在 [T,−T] 這個區間上了。因爲區間 [−T,T] 的長度相較於整個實軸 (−∞,∞) 來說是非常小，小到可以忽略的，所以可以非零的活動可以被認爲是在很小的時間段裏面。這就是 small 的原因。
  • 同時對於式一來說，我們可以看出正的信號都會被負的信號 cancel掉，所以 ψ(⋅) 是一個 wave
  • 式一和式二總體就能看出這是 small wave 的。

小波分析（Wavelet Analysis）

• wavelets tell us about variations in local averages
• 先考慮一些基本的：
  
  • 記 x(⋅) 爲一個信號，t 爲時間
  • 那麼在區間 [a,b] 上 x(⋅) 的均值爲： 1b−a∫bax(u)du=α(a,b)
  • 如果將 a,b 用 λ,t 來表示的話，可以寫成
    
    A(λ,t)=α(t−λ2,t+λ2)=1λ∫t+λ2t−λ2x(u)du
  • 其中，λ=b−a 稱作 scale
  • t=(a+b)2 是時間段的中心
  • 所以，A(λ,t) 是 x(⋅) 在 t 時刻處 λ 尺度下的均值。
• 很顯然，相較於均值本身，我們更關心不同尺度下均值的變化。所以這裏我們就可以將小波與均值的變換聯繫起來。
  
  • 我們可以將 A(λ,t) 的變化表示爲：
    
    D(1,t−12)=A(1,t)−A(1,t−1)=∫t+12t−12x(u)du−∫t−12t−32x(u)du
  • 或者：
    
    D(1,t)=A(1,t+12)−A(1,t−12)=∫t+1tx(u)du−∫tt−1x(u)du
  • 上面的scale都默認爲1，如果換成一般的 scale λ 的話，可得：
    
    D(λ,t)=A(λ,t+λ2)−A(λ,t−λ2)=1λ∫t+λtx(u)du−1λ∫tt−λx(u)du
• 一種典型的小波就是 Haar wavelet：
  
  ψ(H)(u)={−12√,12√,0,−1<u≤00<u≤1others
  
  
  • 我們可以用 Haar 小波 來提取時間 t 處單位 尺度的差值：
    
    ∫∞−∞ψH(u)x(u)du=WH(1,0)
  • 要提取其他 t 處的信息， 只需要平移 ψH(u) :
    
    ψH1,t(u)=ψH(u−t)
    
    
    ψ(H)1,t(u)={−12√,12√,0,t−1<u≤tt<u≤t+1others
  • 要提取其他尺度 λ 處的信息：
    
    ψ(H)λ,t(u)=1λ√ψH(u−tλ)={−12√,12√,0,t−λ<u≤tt<u≤t+λothers
  • 不同 λ,t 的集合，我們可以得到 x(⋅) 在不同尺度下的變化，這就是 x(⋅) 的 Haar continuous wavelet transform (CWT) ：
    
    W(λ,t)=∫∞−∞ψλ,t(u)x(u)du,whereψλ,t(u)=1λ√ψ(u−tλ)
• 事實上，W(λ,t) 和 x(t) 是等價的，我們可以推算出：
  
  ∫∞−∞x2(t)dt=1Cψ∫∞0[∫∞−∞W2(λ,t)dt]dλλ2
  
  
  • 等式左邊 爲 x(⋅) 的能量（energy）
  • 等式右邊是 能量密度( energy density) 在 λ,t 上的積分

Wavelet Sum up

(http://www2.isye.gatech.edu/~brani/wp/kidsA.pdf)
- Computational complexity of the fast Fourier transformation is O(n⋅log2(n)) . For the fast wavelet, it’s O(n)
- one can do data smoothing by thresholding the wavelet coefficients and then returning the thresholded code to the “time domain.”