分形理論

一，引言

在《Foundations of F#》的第七章中，作者在介紹Math命名空間時舉的例子是繪製Mandelbrot集合。這個看起來挺奇怪的東東以前還真沒見過，網上一查才知道，原來它是如此的優美動人。由於該集合的定義與分形相關，所以先來了解下分形的概念。

二，什麼是分形（Fractal）

1967年，美國數學家Mandelbrot曾出這樣一個著名的問題：英格蘭的海岸線到底有多長？這個問題在數學上可以理解爲：用折線段擬合任意不規則的連續曲線是否一定有效？這個問題的提出實際上是對以歐氏幾何爲核心的傳統幾何的挑戰。

1975年，Mandelbrot在其《自然界中的分形幾何》一書中引入了分形（fractal）這一概念。從字面意義上講， fractal是碎塊、碎片的意思，然而這並不能概括Mandelbrot的分形概念，儘管目前還沒有一個讓各方都滿意的分形定義，但在數學上大家都認爲分形有以下幾個特點：

1. 具有無限精細的結構；
2. 比例自相似性；
3. 一般它的分數維大子它的拓撲維數；
4. 可以由非常簡單的方法定義，並由遞歸、迭代產生。

據說，南非海岸線的維數是1.02，英國西岸的維數是1.25。

下面的兩幅圖有助於我們理解它的概念：

$fractal1$

$fractal2$

這真像是一個菜花。

需要注意的是，分形往往由遞歸、迭代產生，但是我們在紙上做出的圖只能作有限次的遞歸、迭代。

分形幾何學已在自然界與物理學中得到了應用。如在顯微鏡下觀察落入溶液中的一粒花粉，會看見它不間斷地作無規則運動（布朗運動），這是花粉在大量液體分子的無規則碰撞（每秒鐘多達十億億次）下表現的平均行爲。布朗粒子的軌跡，由各種尺寸的折線連成。只要有足夠的分辨率，就可以發現原以爲是直線段的部分，其實由大量更小尺度的折線連成。

三，什麼是Mandelbrot集合？

Mandelbrot集合是在複平面上組成分形的點的集合，它正是以數學家Mandelbrot命名。

Mandelbrot集合可以用復二次多項式

$f_ c(z) =z^{2}+ c \,$ 來定義

其中c是一個復參數。對於每一個c，從 $z = 0\,$ 開始對f_c(z)進行迭代。

序列 $(0, f_ c(0), f_c(f_ c(0)), f_ c(f_ c(f_ c(0))), \ldots)$ 的元素的模（複數具有模的概念）或者延伸到無窮大，或者只停留在有限半徑的圓盤內。Mandelbrot集合就是使以上序列不延伸至無限大的所有c點的集合。

從數學上來講，Mandelbrot集合是一個複數的集合。一個給定的複數c或者屬於Mandelbrot集合M，或者不屬於。比如，取c = 1，那麼這個序列就是(0, 1, 2, 5, 26, ...)，顯然它的值會趨於無窮大；而如果取c = i，那麼序列就是(0, i, -1+i, -i, -1+i, -i,...)，它的值會一直停留在有限半徑的圓盤內。

事實上，一個點屬於Mandelbrot集合當且僅當它對應的序列（由上面的二項式定義）中的任何元素的模都不大於2。這裏的2就是上面提到的“有限半徑”。

四，在計算機上繪製Mandelbrot集合

計算機的屏幕上的像素只有有限個，而Mandelbrot集合中的點則有無限個。

觀察上面複平面的局部，Mandelbrot集合即黑色區域，實部從-2到1，虛部從-1到1，那麼將兩個點(-2, 1)和(1, -1)作爲一個矩形的左上角頂點和右下角頂點，那麼這個矩形就包含了整個Mandelbrot集合，該矩形的長爲3，寬爲2。我們可以將這個矩形與屏幕上的區域進行映射，也就是將屏幕上的一個像素映射爲該矩形內的一點，如果該點屬於Mandelbrot集合，就將該像素着爲黑色，這樣逐一對每個像素進行判斷和着色，就可以模擬繪製Mandelbrot集合了。該矩形的長寬比爲3：2，我們在屏幕上可以取600 * 400的矩形區域。

完成映射後來考慮如何判斷一個點是否屬於該集合。其根據就是上面的結論“一個點屬於Mandelbrot集合當且僅當它對應的序列（由上面的二項式定義）中的任何元素的模都不大於2”，由於序列的的元素有無窮多個，我們只能取有限的迭代次數來模擬了，比如取100或1000次。

我們用Microsoft.FSharp.Math.Notation.complex類型來表示一個複數，它的Magnitude屬性表示複數的模，我們可以通過一定次數（比如100次）的迭代，來看看前100項是不是都滿足條件，如果滿足就認爲這個複數在Mandelbrot集合內。

五，枯燥的，和有趣的----學術知識

分形理論是當今世界十分風靡和活躍的新理論、新學科。分形的概念是美籍數學家曼德布羅特(B.B.Mandelbort)首先提出的。1967年他在美國權威的《科學》雜誌上發表了題爲《英國的海岸線有多長?》的著名論文。海岸線作爲曲線,其特徵是極不規則、極不光滑的,呈現極其蜿蜒複雜的變化。我們不能從形狀和結構上區分這部分海岸與那部分海岸有什麼本質的不同,這種幾乎同樣程度的不規則性和複雜性,說明海岸線在形貌上是自相似的,也就是局部形態和整體形態的相似。在沒有建築物或其他東西作爲參照物時,在空中拍攝的100公里長的海岸線與放大了的10公里長海岸線的兩張照片,看上去會十分相似。事實上,具有自相似性的形態廣泛存在於自然界中,如:連綿的山川、飄浮的雲朵、岩石的斷裂口、布朗粒子運動的軌跡、樹冠、花菜、大腦皮層……曼德布羅特把這些部分與整體以某種方式相似的形體稱爲分形(fractal)。1975年,他創立了分形幾何學(fractalgeometry)。在此基礎上,形成了研究分形性質及其應用的科學,稱爲分形理論(fractaltheory)。

自相似原則和迭代生成原則是分形理論的重要原則。它表徵分形在通常的幾何變換下具有不變性,即標度無關性。由自相似性是從不同尺度的對稱出發,也就意味着遞歸。分形形體中的自相似性可以是完全相同,也可以是統計意義上的相似。標準的自相似分形是數學上的抽象,迭代生成無限精細的結構,如科契(Koch)雪花曲線、謝爾賓斯基(Sierpinski)地毯曲線等。這種有規分形只是少數,絕大部分分形是統計意義上的無規分形。

分維,作爲分形的定量表徵和基本參數,是分形理論的又一重要原則。分維,又稱分形維或分數維,通常用分數或帶小數點的數表示。長期以來人們習慣於將點定義爲零維,直線爲一維,平面爲二維,空間爲三維,愛因斯坦在相對論中引入時間維,就形成四維時空。對某一問題給予多方面的考慮,可建立高維空間,但都是整數維。在數學上,把歐氏空間的幾何對象連續地拉伸、壓縮、扭曲,維數也不變,這就是拓撲維數。然而,這種傳統的維數觀受到了挑戰。曼德布羅特曾描述過一個繩球的維數:從很遠的距離觀察這個繩球,可看作一點(零維);從較近的距離觀察,它充滿了一個球形空間(三維);再近一些,就看到了繩子(一維);再向微觀深入,繩子又變成了三維的柱,三維的柱又可分解成一維的纖維。那麼,介於這些觀察點之間的中間狀態又如何呢?

顯然,並沒有繩球從三維對象變成一維對象的確切界限。數學家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了連續空間的概念,也就是空間維數是可以連續變化的,它可以是整數也可以是分數,稱爲豪斯道夫維數。記作Df,一般的表達式爲:K=LDf,也作K=(1/L)-Df,取對數並整理得Df=lnK/lnL,其中L爲某客體沿其每個獨立方向皆擴大的倍數,K爲得到的新客體是原客體的倍數。顯然,Df在一般情況下是一個分數。因此,曼德布羅特也把分形定義爲豪斯道夫維數大於或等於拓撲維數的集合。英國的海岸線爲什麼測不準?因爲歐氏一維測度與海岸線的維數不一致。根據曼德布羅特的計算,英國海岸線的維數爲1.26。有了分維,海岸線的長度就確定了。

分形理論既是非線性科學的前沿和重要分支,又是一門新興的橫斷學科。作爲一種方法論和認識論,其啓示是多方面的:一是分形整體與局部形態的相似,啓發人們通過認識部分來認識整體,從有限中認識無限;二是分形揭示了介於整體與部分、有序與無序、複雜與簡單之間的新形態、新秩序;三是分形從一特定層面揭示了世界普遍聯繫和統一的圖景。

形是破碎的、不規則的，其幾何性質十分豐富，可以說，到目前爲止它的幾何性質還沒有完全被挖掘出來。在這裏，我們只將分形的最常見的一些性質描述給大家。
（1）分形是破碎的，局部不可微的不規則圖形；
（2）分形一般是自相似的，或是統計自相似的；
（3）分形有時也是自仿射的；
（4）分形的維數一般是分數的，但也有整數維數的分形，如Peano曲線；
（5）分形圖具有精細結構，即無論局部放大多少倍，仍然具有複雜的結構。