巴什博弈：
只有一堆N個石子，每次最多取M個最少取1個最後取光者勝
判斷先手勝負的條件：
1.當N=M+1時，先手顯然必敗
2.當N=(M+1)*k+r 時，先手先取r個石子，若後手取x個石子，則先手再取(m+1-x)個石子,始終然後手面對N=(M+1)*k 個石子，如此重複後手必敗
所以當N%(M+1)==0 時，後手勝，反之先手勝
例如N=7，M=3
先手取3個 7---->4 後手最多取3個，所以後手不論取多少，先手都可以在下一次獲得勝利
例如N=8，M=3
無論先手取多少，後手總可使剩餘的石子數爲4，先手敗
威佐夫博奕：
有兩堆石子，兩個人輪流從一堆或同時從兩堆中取同樣多的石子(從一堆中取時取多個，若從兩堆中取多個則必須是取相同的個數)，至少一個多者不限，最後取光者勝
方法一：
f(a,b) 表示兩堆數量分別爲a,b時的狀態，則f(a,b)=f(a,b-k) or f(a-k,b) or f(a-k,b-k) 時間複雜度爲O(n^3)
改進：
若爲f(a,a) 則必勝(同時從兩堆中取a個)
若爲f(a,b)==f(b,a),兩種狀態相同
若f(a,b) 爲必敗態時對於任意的c!=b f(a,c)爲必勝態，如(1,2)爲必敗態，先手無論怎麼取，都可以使後手獲得勝利，(1,n)則先手可以使後手面對(1,2)這種狀態
所以，如果面對(0,0)這種狀態是先手已經敗了，我們把這種狀態稱爲奇異形態
前幾種奇異形態爲(0,0),(1,2),(3,5),(4,7),(6,10) 有規律：1=2-1 2=5-3 3=7-4 4=10-6 設狀態爲(ak,bk)(0<=k<=n) ak是前面狀態中沒有出現的最小自然數，bk=ak+k
有個公式 ak=k*(sqrt(5)+1)/2 bk=ak+k 或者 bk=k*(sqrt(5)+3)/2
Nim 博弈：
有N堆石子，每堆有Pi個石子，從任意一堆中取走至少個石子，也可以整堆拿走，但不能從多堆中同時拿，無法取者爲輸(取走最後一個者勝)
舉個例子：
假設有3堆石子，每堆分別爲a=1，b=2，c=3，若你先拿怎麼拿
1). 拿走第一堆的唯一一個石子，那麼情況變成(0,2,3),在這種情況下對手只需要在第三堆中拿走一個石子，變成(0,2,2),你就輸了，因爲完後無論你怎麼拿，對手只需要在另一堆中採取相同的策略，所以對手不會出現無法取火柴的情況
2).完全拿走第二堆變成(1,0,3)或者(1,2,0),這樣做的方法跟1)是一樣的,對手可以採取策略使兩堆的石子數變成(1,0,1)或(1,1,0),敗
3).對於(1,1,3),(1,2,2),(1,2,1)，對手總可以使情況變成(1,1,0),(0,2,2),(1,0,1),敗
所以(1,2,3)是一個先手必敗的條件，簡稱必敗態
1.對於必敗態當且僅當其後繼狀態都是必勝態
2.對於必勝態當且僅當其後繼至少有一個是必敗態
3.沒有後繼的狀態是必敗態
Nim遊戲的解法：
對於狀態(a,b,c)當且僅當a or b or c == 0 時(a,b,c)爲必敗態，即每堆石子的數目全部放在一起求異或，當且僅當結果爲0時狀態是先手必敗
1).對於必勝態，一定有一個後繼狀態是必敗的
2).對於必敗狀態，其後繼都是必勝態
關於Nim遊戲的拓展：
一:
有N堆石子，其中第i堆有Pi個石子，每次每個人最多從某一堆中取M個石子，最後不能取得的人輸
結論：若每堆石子數分別爲p1,p2,p3,p4..... 對M+1取餘得到r1，r2,r3,r4..... 然後 r1 or r2 or r3 or r4.... 若爲0 則爲必敗態，反之必勝態
分析： 對每堆石子進行分解，得到兩部分，每部分都還是N堆石子，第一部分是M+1的倍數，由Nim博弈知識得到這一部分是必敗態，所以整個遊戲的勝負可以由另一堆決定，即由余數決定爲0則爲必敗態，反之必勝態
二:(NimK問題)
有N堆石子，每堆有Pi個石子，每次最多從K堆中取出若干石子，不能不取，最後不能取者輸
結論：對於K>1 的情況，把p1，p2，p3，p4.....轉成2進制，然後每位相加，最後結果%(M+1) 若爲0則爲必敗態，反之必勝態
三:Misere Nim
規則同Nim遊戲的規則相同，但是勝負條件發生變換，誰去走最後一個誰輸(誰不能取誰贏)
結論：
1).若每堆都是隻含有1個石子，且共有偶數堆，則先手勝
2).如果只有1堆石子的個數大於1，若總堆數爲偶數，則先手把這堆的石子取完，若總堆數爲奇數，則先手把這堆的數目取成1，使之成爲有奇數堆只含有1個石子的石子堆(其中總起來說就是讓先手面對 1) 這種狀態)
3)如果至少有兩堆的石子數大於1，考慮異或值，若爲0，則必敗，反之必勝
