[LeetCode]4. Median of Two Sorted Arrays

4. Median of Two Sorted Arrays

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

分析

尋找兩個已排序序列的中位數，中位數就是一個序列中位置中間的那個數，當元素個數爲奇數時，中位數就是第n/2個元素；當元素個數爲偶數時，中位數就是第n/2個元素和第 n/2 + 1個元素的平均值；

最直接的方法就是合併兩個有序序列，然後找到第k大元素。這種方法的時間複雜度爲O(k).

另一種法就是利用二分法思想（排序後是序列都很有可能利用二分法思想）。我們可以考慮從k入手，如果每次都可以刪除一個一定在第k大元素之前的元素，那麼需要進行k次。但是如果一次刪除一半呢？優於兩個序列是有序的，我麼可以充分利用這部分信息。

假設A序列和B序列的元素個數都大於k/2，比較A[K/2-1]和B[K/2-1]有三種情況：
A[K/2-1] = B[K/2-1]
A[K/2-1] > B[K/2-1]
A[K/2-1] < B[K/2-1]
如果A[K/2-1] < B[K/2-1]，則A[0]到A[K/2-1]肯定在A、B集合的前k大元素範圍，因此可以放心刪除A序列裏的這k/2個元素；
當A[K/2-1] > B[K/2-1]時，可以刪除B序列裏的前k/2個元素
當A[K/2-1] > B[K/2-1]時，說明找到了第`k大元素。

因此可以通過遞歸函數來解決，遞歸的終止條件就是：
當A或B爲空時，直接返回B[k-1]或者A[k-1]
當k=1時，返回min(A[0],B[0])
當A[K/2-1] = B[K/2-1]時，返回A[K/2-1]或者 B[K/2-1]

源碼

方法1：合併排序然後遍歷

    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {

        double ret = 0;
        int total = nums1.size() + nums2.size();
        int m = 0, n = 0, count = 0;
        int k = total / 2;

        int a = 0, b = 0, tmp = 0;

        while(count <= k) {
            if(m >= nums1.size()) {
                tmp = nums2[n];
                n++;
            } else if(n >= nums2.size()) {
                tmp = nums1[m];
                m++;
            } else if(nums1[m] <= nums2[n]) {
                tmp = nums1[m];
                m++;
            } else {
                tmp = nums2[n];
                n++;
            }
            count++;

            a = b;
            b = tmp;
        }

        if(total % 2 == 0) {
            return (a + b) / 2.0;
        } else {
            return b;
        }
    }

方法二：二分遞歸

double findKth(int a[], int m, int b[], int n, int k)
{
    if (m > n) // 總是假設a數組比b數組短
        return findKth(b, n, a, m, k);
    if (m == 0) // 短數組a的元素個數爲0時直接返回長數組b中的第k大元素
        return b[k - 1];
    if (k == 1) // k=1時直接返回兩個數組中首元素中的較小值
        return min(a[0], b[0]);

    //將k拆成兩部分
    int pa = min(k / 2, m), pb = k - pa;
    if (a[pa - 1] < b[pb - 1]) //a[0]...a[pa-1]一定在第k大元素的前面，後面只需要考察a[pa]...
        return findKth(a + pa, m - pa, b, n, k - pa);
    else if (a[pa - 1] > b[pb - 1])//b[0]...b[pb-1]一定在第k大元素的前面，後面只需要考察b[pb]...
        return findKth(a, m, b + pb, n - pb, k - pb);
    else
        return a[pa - 1];
}

double _findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n)
{
    int total = m + n;
    if (total & 0x1) //元素個數爲奇數
        return findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1);
    else // 元素個數爲偶數
        return (findKth(A, m, B, n, total / 2)
                + findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1)) / 2;
}

class Solution
{
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        return _findMedianSortedArrays(&nums1[0], nums1.size(), &nums2[0], nums2.size());
    }
}