線段樹應用

問題描述：

Given an integer array nums, find the sum of the elements
between indices i and j (i ≤ j), inclusive.
The update(i, val) function modifies nums by updating the element at index i to val.
Example:
Given nums = [1, 3, 5]

sumRange(0, 2) -> 9
update(1, 2)
sumRange(0, 2) -> 8

針對指定區間返回區間和，並能修改各區間的數值。

線段樹

這個問題可以很好的利用線段樹來求解，每個節點存放起始到終點區間的元素之和。
線段樹，是一個完全二叉樹，它在各個節點保存一條線段（數組中的一段子數組），主要用於高效解決連續區間的動態查詢問題，由於二叉結構的特性，它基本能保持每個操作的複雜度爲O(lgN)。
性質：父節點的區間是[a,b]，(c=(a+b)/2)左兒子的區間是[a,c]，右兒子的區間是[c+1,b]，線段樹需要的空間爲數組大小的最少2倍、最多3倍。

問題求解

針對上述數組區間和問題，每個節點保存區間內元素和，使用一個數組實現區間樹（也可以使用指針動態方式實現）。

struct Node{
        int left;
        int right;
        int sum;
        Node():left(0),right(0),sum(0){}
        Node(int l, int r, int s):left(l),right(r),sum(s){}
};
//線段樹實現的數組
vector<Node> SegTree;

需要的操作分別有創建、查詢、更新元素。分別實現如下。
創建利用遞歸方式進行，參數seg爲當前創建節點的下標，s和e分別爲數組nums當前創建的區間起始於終點下標。

void construct(vector<Node> & segTree, int seg, int s, int e, vector<int>& nums)
{
    if (s == e) segTree[seg] = Node(s, e, nums[s]);
    else
    {
        construct(segTree, 2*seg + 1, s, (s+e) / 2, nums);
        construct(segTree, 2*seg + 2, (s+e) / 2 + 1, e, nums);
        int segSum = segTree[2*seg + 1].sum + segTree[2*seg+2].sum;
        segTree[seg] = Node(s, e, segSum);
    }
}

調用方式爲：

construct(SegTree, 0, 0, nums.size()-1, nums)

查詢區間和：

int sumRange(int i, int j) {
    return sumRangeHelper(0, i, j);
}
int sumRangeHelper(int root, int i, int j)
{
    if (SegTree[root].left == i &&  SegTree[root].right == j) return SegTree[root].sum;

    int leftBound = (SegTree[root].left + SegTree[root].right) / 2;
    if (j <= leftBound)
    {
        return sumRangeHelper(2 * root + 1, i, j);
    }
    else if (i > leftBound)
    {
        return sumRangeHelper(2 * root + 2, i, j);
    }
    else
    {
        int lsum = sumRangeHelper(2 * root + 1, i, leftBound);
        int rsum = sumRangeHelper(2 * root + 2, leftBound + 1, j);
        return lsum + rsum;
    }
}

查詢區間爲i到j之間的元素之和，利用輔助函數遞歸調用，主要在於判斷下標範圍。

最後，需要更新某個元素之值，然後將線段樹各個節點保存的和一併進行更新：

void update(int i, int val)
{
    updateHelper(0, i, val);
}
void updateHelper(int root, int i, int val)
{
    if (SegTree[root].left == SegTree[root].right)
    {
        SegTree[root].sum = val;
        return;
    }

    int lb = (SegTree[root].left + SegTree[root].right) / 2;
    int lc = 2 * root + 1, rc = lc + 1;
    if (i <= lb)
    {
        updateHelper(lc, i, val);
    }
    else
    {
        updateHelper(rc, i, val);
    }
    SegTree[root].sum = SegTree[lc].sum + SegTree[rc].sum;
}