快速冪取模算法

文章出處：http://blog.csdn.net/lsldd/article/details/5506933

參考文章來源：Reait  Home(http://www.reait.com/blog.html) 轉載請註明，謝謝合作。 

在Miller Rabbin測試素數，就用到了快速冪取模的思想。這裏總結下。
求a^b%c（這就是著名的RSA公鑰的加密方法），當a,b很大時，直接求解這個問題不太可能 

算法1：利用公式a*b%c=((a%c)*b)%c,這樣每一步都進行這種處理，這就解決了a^b可能太大存不下的問題，但這個算法的時間複雜度依然沒有得到優化
代碼如下：

int modexp_simple(int a,int b,int n)
{
    int ret = 1;
    while (b--)
    {
        ret = a * ret % n;
    }
    return ret;
}

算法2：另一種算法利用了二分的思想，可以達到O(logn)。
可以把b按二進制展開爲：b = p(n)*2^n  +  p(n-1)*2^(n-1)  +…+   p(1)*2  +  p(0)
其中p(i) (0<=i<=n)爲 0 或 1

這樣 a^b =  a^ (p(n)*2^n  +  p(n-1)*2^(n-1)  +...+  p(1)*2  +  p(0))
               =  a^(p(n)*2^n)  *  a^(p(n-1)*2^(n-1))  *...*  a^(p(1)*2)  *  a^p(0)
對於p(i)=0的情況, a^（p(i) * 2^(i-1) ） =  a^0  =  1,不用處理
我們要考慮的僅僅是p(i)=1的情況
化簡：a^(2^i)  = a^(2^(i-1)  * 2) = (  a^(  p(i)  *  2^(i-1)  )  )^2
（這裏很重要！！具體請參閱秦九韶算法：http://baike.baidu.com/view/1431260.htm）

利用這一點，我們可以遞推地算出所有的a^(2^i)
當然由算法1的結論，我們加上取模運算：
a^(2^i)%c = ( (a^(2^(i-1))%c) * a^(2^(i-1)))  %c
於是再把所有滿足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起來再%c就是結果， 即二進制掃描從最高位一直掃描到最低位

實例代碼：遞歸

//計算a^bmodn
int modexp_recursion(int a,int b,int n)
{
    int t = 1;

    if (b == 0)
        return 1;

    if (b == 1)
         return a%n;

    t = modexp_recursion(a, b>>1, n);

    t = t*t % n;

    if (b&0x1)
    {
        t = t*a % n;
    }

    return t;
 }

實例代碼2：非遞歸優化 

#include <iostream>
using namespace std;

//計算a^bmodn
int modexp(int a,int b,int n)
{
    int ret=1;
    int tmp=a;
    while(b)
    {
       //基數存在
       if(b&0x1) ret=ret*tmp%n;
       tmp=tmp*tmp%n;
       b>>=1;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    cout<<modexp(2,10,3)<<endl;
    return 0;
}

 

原文：http://kmplayer.javaeye.com/blog/601578