目錄
GCD與LCM
GCD
歐幾里得
遞歸寫法
形式1：
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0) return a;
return gcd(b,a%b);
}
形式2：
int gcd(int x,int y){return y==0?x:GCD(x%y)}
非遞歸寫法
int gcd(int a,int b)
{
while(b)
{
a=a%b;
swap(a,b);
}
return a;
}
更相減損術
while(!(a%2) && !(b%2))
{
a = a/2;
b = b/2;
}
while(a != b)
{
if(a>b){
a = a-b;
}else{
b = b-a;
}
}
輾轉相除法與更相減損術的比較
（1）兩者都是求最大公因數的方法，計算上輾轉相除法以除法爲主，更相減損術以減法爲主，計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少，特別當兩個數字大小區別較大時計算次數的區別較明顯。
（2）更相減損術本質是輾轉相除法，輾轉相除法效率比較高
（3）從結果體現形式來看，輾轉相除法體現結果是以相除餘數爲0則得到，而更相減損術則以減數與差相等而得到。
GCD的二進制寫法（stein算法）
二進制寫法先用移位的方式對兩個數除2，直到兩個數不同時爲偶數。然後將剩下的偶數（如果有的話）做同樣的操作，這樣做的原因是如果u和v中u爲偶數,v爲奇數，則有gcd(u,v)=gcd(u/2,v)。到這時，兩個數都是奇數，將兩個數相減(因爲gcd(u,v) = gcd(u-v,v))，得到的是偶數t，對t也移位直到t爲奇數。每次將最大的數用t替換。
Stein算法只有整數的移位和加減法。下面就來說一下Stein算法的原理：
不加證明的給出：
- 若a和b都是偶數，則記錄下公約數2，然後都除2（即右移1位）；
- 若其中一個數是偶數，則偶數除2，因爲此時2不可能是這兩個數的公約數了
- 若兩個都是奇數，則a = |a-b|，b = min(a,b)，因爲若d是a和b的公約數，那麼d也是|a-b|和min(a,b)的公約數。
遞歸式：
int SteinGCD(int a, int b) {
if (a < b) { int t = a; a = b; b = t; }
if (b == 0) return a;
if ((a & 1) == 0 && (b & 1) == 0)
return SteinGCD(a >> 1, b >> 1) << 1;
else if ((a & 1) == 0 && (b & 1) != 0)
return SteinGCD(a >> 1, b);
else if ((a & 1) != 0 && (b & 1) == 0)
return SteinGCD(a, b >> 1);
else
return SteinGCD(a - b, b);
}
非遞歸：
int SteinGCD(int a, int b) {
int acc = 0;
while ((a & 1) == 0 && (b & 1) == 0) {
acc++;
a >>= 1;
b >>= 1;
}
while ((a & 1) == 0) a >>= 1;
while ((b & 1) == 0) b >>= 1;
if (a < b) { int t = a; a = b; b = t; }
while ((a = (a - b) >> 1) != 0) {
while ((a & 1) == 0) a >>= 1;
if (a < b) { int t = a; a = b; b = t; }
}
return b << acc;
}
LCM
LCM(A,B)=A*B/GCD(A,B)；
這樣寫法有可能會錯，因爲a * b可能因爲太大 超出int 或者 超出 long long)
最好寫成LCM(A,B)=A/GCD(A,B)*B；
分數的lcm
公式：lcm(S/a, S/b) = S/gcd(a, b) 例如：S = 9，a = 4，b = 6
