動態規劃基礎題：低價購買（最長下降子序列）

題目描述

“低價購買”這條建議是在奶牛股票市場取得成功的一半規則。要想被認爲是偉大的投資者，你必須遵循以下的問題建議:“低價購買；再低價購買”。每次你購買一支股票,你必須用低於你上次購買它的價格購買它。買的次數越多越好!你的目標是在遵循以上建議的前提下，求你最多能購買股票的次數。你將被給出一段時間內一支股票每天的出售價(2^16範圍內的正整數)，你可以選擇在哪些天購買這支股票。每次購買都必須遵循“低價購買；再低價購買”的原則。寫一個程序計算最大購買次數。

這裏是某支股票的價格清單：

日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

價格 68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87

最優秀的投資者可以購買最多4次股票，可行方案中的一種是：

日期 2 5 6 10

價格 69 68 64 62

輸入輸出格式

輸入格式：
第1行: N (1 <= N <= 5000)，股票發行天數

第2行: N個數，是每天的股票價格。

輸出格式：
輸出文件僅一行包含兩個數:最大購買次數和擁有最大購買次數的方案數(<=2^31)當二種方案“看起來一樣”時（就是說它們構成的價格隊列一樣的時候）,這2種方案被認爲是相同的。

看完試題就應該能明白，這是一道典型的最長下降子序列問題。最長下降子序列是一個典型的O(n^2)動態規劃問題。本文將闡述如何求出最長下降子序列長度、統計個數以及快速去重。

長度求解
其實就是一個很簡單的轉移問題。對於第i個元素，它的最長下降子序列長度總是由前i-1個元素轉移得來的。具體而言，它的轉移總來源於前I-1個元素中滿足a[i]>a[j] (j∈[1,i-1])的最長下降子序列長度最大的元素。聽起來很繞口，我們用轉移方程來表示：
f[i]=f[j]+1 （j∈[1,i-1]且j∈N*, i∈[1,n]， a[i]

#include <cstdio>
#define max(x,y) x>y?x:y
using namespace std;
int n,a[5005],f[5005];
int main()
{
    int i,j,ans=0;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),f[i]=1;
    for(i=2,j=1;i<=n;j=j==i-1?1:j+1,i+=(j==1))
        if(a[i]<a[j]&&f[j]>=f[i]) f[i]=f[j]+1;
    for(i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[i]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

統計個數
如何進行個數統計？看起來這個問題很簡單，只要開一個數組，在轉移的時候不斷修改就行了。事實上，真正寫起來，要做的修改還是挺多的。

#include <cstdio>
#define max(x,y) x>y?x:y
using namespace std;
int n,a[5005],f[5005],c[5005];
int main()
{
    int i,j,ans=0;
    scanf("%d",&n);a[n+1]=-1;
    for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),f[i]=1,c[i]=1;
    for(i=2,j=1;i<=n+1;j=j==i-1?1:j+1,i+=(j==1)){
        if(a[i]<a[j]&&f[i]==f[j]+1) c[i]+=c[j];
        if(a[i]<a[j]&&f[j]>=f[i]) f[i]=f[j]+1,c[i]=c[j];
    }
    printf("%d %d\n",f[n+1]-1,c[n+1]);
    return 0;
}

輸入
4
4 4 2 1
輸出
3 2
哈！統計成功了……慢着，好像有哪裏不對……哪裏來的兩個序列？不都是4 4 2 1嗎？

快速去重
剛剛我們看到，會有重複的序列來影響計數，也就是題目描述的“看起來一樣”。因此，我們需要一種去重方法。
有人說：去重簡單！把所有的方案記錄下來，然後挨個比較不就好了？
行！只是……真的很慢。

那麼我們不妨換一種思維……由於重複只會影響計數數組c[i]，並且重複現象的作用一定是產生在c[j]到c[i]的轉移過程中的。不如，我們從源頭出發，來阻止這個問題的發生。
在每一次進行計數後，開闢一次O(i)的校驗，當且僅當存在v[i]==v[j]，f[i]==f[j]時，將c[i]強制設置爲0.

#include <cstdio>
#define max(x,y) x>y?x:y
using namespace std;
int n,a[5005],f[5005],c[5005];
int main()
{
    int i,j,ans=0;
    scanf("%d",&n);a[n+1]=-1;
    for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),f[i]=1,c[i]=1;
    for(i=2,j=1;i<=n+1;j=j==i-1?1:j+1,i+=(j==1)){
        if(a[i]<a[j]&&f[i]==f[j]+1) c[i]+=c[j];
        else if(a[j]==a[i]&&f[i]==f[j]) c[j]=0;
        if(a[i]<a[j]&&f[j]>=f[i]) f[i]=f[j]+1,c[i]=c[j];
    }
    printf("%d %d\n",f[n+1]-1,c[n+1]);
    return 0;
}