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manacher算法

用來找字符串中的最長迴文子串的algorihtm

   Manacher算法可以將長度爲奇數和偶數的迴文串一起考慮：
   在原字符串的相鄰字符串之間插入一個分隔符，字符串的首尾也要分別添加，
   注意分隔符必須是原字符串中沒有出現過的

原字符串s   a   b   a   b   c
轉換後字符串str   #   a   #   b   #   a   #   b   #   c   #

一、Len數組的簡單介紹

    Manacher算法中用到一個非常重要的輔助數組
    Len[i]表示以str[i]爲中心的最長迴文子串的最右端到str[i]位置的長度，
    比如以str[i]爲中心的最長迴文串是str[l,r]，那麼Len[i]=r-i+1

轉換後的字符串str  #   a   #   b   #   a   #   b   #   c   #
Len 1   2   1   4   1   4   1   2   1   2   1

Len[i]數組有一個性質，Len[i]-1就等於該回文串在原串s中的長度
證明：在轉換後的字符串str中，所有的迴文串的長度都是奇數，
那麼對於以str[i]爲中心的最長迴文串的長度爲2*Len[i]-1,
其中又有Len[i]個分隔符，所以在原字符串中的長度就是Len[i]-1，
那麼剩下的工作就是求Len數組

二、Len數組的計算

從左往右開始計算，假設0<=j<=i，那麼在計算Len[i]時，Len[j]已經計算過了，
設mx爲之前計算過的最長迴文串的右端點，
id爲取得這個端點值得位置（那麼Len[id]=mx-id+1）

第一種情況：i < mx
找到i相對於id的對稱位置，設爲j，再次分爲兩種情況：
1、Len[j] < mx-i

    mx的對稱點爲2*id-mx,i和j所包含的範圍是2*Len[j]-1
    那麼說明以j爲中心的迴文串一定在以id爲中心的迴文串內部，
    且i和j關於id對稱，由迴文串的定義可知，一個迴文串反過來仍是迴文串，
    所以以i爲中心的迴文串長度至少和以i爲中心的迴文串長度相等，
    即Len[i]>=Len[j].因爲Len[j]<mx-i所以i+Len[j]<mx，
    由對稱性可知Len[i]=Len[j].

  2、Len[j] > mx-i(此處不能等)

由對稱性說明以i爲中心的迴文串可能延伸到mx之外，
而大於mx的部分我們還沒有進行匹配，
所以要從mx+1位置開始一個一個匹配直到失配，
從而更新mx和對應的id以及Len[i]

第二種情況，i>mx或Len[j]=mx-i

  1.如果說等於的時候會可能Len[i]仍有可能會增大
  2,如果i比mx還大，說明對於中點爲i的迴文串一點都沒匹配，
  這個兩種情況只能一個個匹配,匹配完成後更新mx的位置和對應的id及Len[i].

具體實現見代碼

#include<bits/stdc++.h>
#define N 500000
using namespace std;
char s[N*2],str[N*2];
int Len[N*2],len;
void getstr(){
    int k=0;
    str[k++]='$';
    for(int i=0;i<len;i++)
        str[k++]='#',
        str[k++]=s[i];
    str[k++]='#';
    len=k;
}
void Manacher(){
    getstr();
    int mx=0,id;
    for(int i=1;i<len;i++){
        if(mx>i) Len[i]=min(Len[2*id-i],mx-i);
        else Len[i]=1;
        while(str[i+Len[i]]==str[i-Len[i]]) 
            Len[i]++;
        if(Len[i]+i>mx) mx=Len[i]+i,id=i;
    }
}
int main(){
    while(~scanf("%s",&s)){
        len=strlen(s);
        Manacher();
        int ans=1;
        for(int i=1;i<len;i++) ans=max(ans,Len[i]);
        printf("%d\n",ans-1);
    }
    return 0;
}

講完了模板現在分析一下這道題目，這題是一題模板題；
首先讀入有點麻煩爲此wa了一次，讀入要注意細節，
第二就是用到了那個映射，因爲原串和後來的串是有區別的；
詳見代碼

include<bits/stdc++.h>
#define N 200005
using namespace std;
char s[N*2],str[N*2],ss[N*2];
int Len[N*2],len,n,idd,mp[N*2];
void getstr(){
    int k=0;
    str[k++]='$';
    for(int i=0;i<len;i++){
        str[k++]='#';
        str[k++]=ss[i];
    }
    str[k++]='#';
    len=k;
}
void Manacher(){
    getstr();
    int mx=0,id;
    for(int i=1;i<len;i++){
        if(mx>i) Len[i]=min(Len[2*id-i],mx-i);
        else Len[i]=1;
        while(str[i+Len[i]]==str[i-Len[i]]) 
            Len[i]++;
        if(Len[i]+i>mx) mx=Len[i]+i,id=i;
    }
}
void read(){
    char c;
    while((c=getchar())!=EOF){
            s[++n]=c;
            if ((c>='A'&&c<='Z')||(c>='a'&&c<='z')){
                if(c>='A'&&c<='Z') ss[len++]=c+32;
                if(c>='a'&&c<='z') ss[len++]=c;
                mp[len]=n;
            }
    }
}
int main(){
    read();
    Manacher();
    int ans=1;
    for(int i=1;i<len;i++){
        if(ans<Len[i]){
            ans=Len[i];
            idd=i;
        }
    }
    ans--;
    printf("%d\n",ans);
    int sx=(idd-ans)/2;  
    int sy=(idd+ans)/2;
    for(int i=mp[sx+1];i<=mp[sy];i++)
        printf("%c",s[i]);
    return 0;
}