本文介紹數據結構中幾種常見的樹:二分查找樹，2-3樹，紅黑樹，B樹
寫在前面
- 本文所有圖片均截圖自coursera上普林斯頓的課程《Algorithms, Part I》中的Slides
- 相關命題的證明可參考《算法（第4版）》
- 源碼可在官網下載,也可以在我的github倉庫 algorithms-learning下載，已經使用maven構建
- 倉庫下載：
git clone [email protected]:brianway/algorithms-learning.git
Binary Search Tree(二分查找樹)
定義：A BST is a binary tree in symmetric order.
A binary tree is either:
- Empty.
- Two disjoint binary trees (left and right).
Symmetric order.Each node has a key, and every node’s key is:
- Larger than all keys in its left subtree.
- Smaller than all keys in its right subtree.
在java的實現中，每個節點(Node)由四個域組成：key,value,left,right。即：鍵，值，左子樹，右子樹。
private class Node {
private Key key;
private Value val;
private Node left, right;
public Node(Key key, Value val) {
this.key = key;
this.val = val;
}
}
- 查找：得到相應鍵的值，若無此鍵則返回null.
/* 查找 */
public Value get(Key key) {
Node x = root;
while (x != null) {
int cmp = key.compareTo(x.key);
if (cmp < 0) {
x = x.left;
} else if (cmp > 0) {
x = x.right;
} else { // if (cmp == 0)
return x.val;
}
}
return null;
}- 插入：如果小，往左；如果大，往右；如果null，插入；如果存在，覆蓋。
/* 插入 */
public void put(Key key, Value val) {
root = put(root, key, val);
}
/* 輔助函數，遞歸調用 */
private Node put(Node x, Key key, Value val) {
if (x == null) return new Node(key, val);
int cmp = key.compareTo(x.key);
if (cmp < 0) {
x.left = put(x.left, key, val);
} else if (cmp > 0) {
x.right = put(x.right, key, val);
} else { // if (cmp == 0)
x.val = val;
}
return x;
}比較的次數爲節點的深度+1,由於插入節點的順序會有差異，所以樹的高度不確定，最壞的情況是N個節點的樹高度爲N。
- 刪除：列出下面幾種處理方法
- 將值置爲null，在樹中保留鍵
- 刪除最小值：一直向左找到左子樹爲null的節點，用它的右子節點代替它。
- Hibbard deletion
下面重點講一下Hibbard deletion,分爲三種情況：
- 沒有子節點的節點，將其parent link置爲null即可。
- 有一個子節點的節點，刪除該節點並以子節點代替即可。
- 有兩個子節點的節點，找到該節點t的下一個節點x（即右子樹的最小節點），在右子樹刪除這個節點，並將該節點x放到t的位置。
/* 刪除 */
private Node delete(Node x, Key key) {
if (x == null) return null;
int cmp = key.compareTo(x.key);
if (cmp < 0) {
x.left = delete(x.left, key);
} else if (cmp > 0) {
x.right = delete(x.right, key);
} else {
if (x.right == null) return x.left; // no right child
if (x.left == null) return x.right; // no left child
Node t = x;
x = min(t.right); // replace with successor
x.right = deleteMin(t.right);
x.left = t.left;
}
x.count = size(x.left) + size(x.right) + 1;
return x;
}2-3 Search Trees(2-3樹)
在介紹紅黑樹前，先介紹一下2-3樹，便於後面理解紅黑樹。
2-3樹是二分查找樹的變形，每個節點是下面兩種情況之一：
- 2-node:一個鍵，兩個分叉（smaller,larger）
- 3-node:兩個鍵，三個分叉（smaller,between,larger）
在底部向一個3-node插入。
- 向3-node插入一個鍵，臨時成爲一個4-node
- 將4-node中間的key移動到父節點
- 向上重複
- 如果到了頂端的根節點，且根節點是4-node,將其分成3個2-nodes.
總結起來就是：當插入的值導致節點變四叉時進行分裂，將中間的值傳給上一個節點，並將另外兩個值作爲兩個子節點分開，若上一節點也因此變成四叉，依次類推。分裂4-node是一個local transformation，只會進行常數次數的操作。高度加一由且僅由頂節點分裂造成
樹的高度，在查找和插入時，保證了logarithmic的性能。
- Worst case: lg N. [all 2-nodes]
- Best case: log3 N ≈ 0.631 lg N. [all 3-nodes]
Red-Black BSTs(紅黑樹)
這裏的紅黑樹均指Left-leaning red-black BSTs。主要是用二叉樹的形式來表示2-3樹，用一個“內部”的left-leaning連接來表示3-node。red link是2-3tree的三叉節點的連接兩個key的內部link，大值作爲根節點，小值作爲左子節點，故名left leaning 紅黑樹。
一個等價的定義,A BST such that:
- No node has two red links connected to it.
- Every path from root to null link has the same number of black links.
- Red links lean left.
紅黑樹的java表示
private static final boolean RED = true;
private static final boolean BLACK = false;
private class Node {
Key key;
Value val;
Node left, right;
boolean color;// color of parent link
}
private boolean isRed(Node x) {
if (x == null) return false;
return x.color == RED;
}左轉-右轉-變色
紅黑樹插入過程中可能用到的三個基本操作（左轉，右轉，變色）：
- left rotate
- right rotate
- flip colors
下面依次介紹
- 左轉
/* left rotate */
private Node rotateLeft(Node h) {
assert isRed(h.right);
Node x = h.right;
h.right = x.left;
x.left = h;
x.color = h.color;
h.color = RED;
return x;
}- 右轉
/* right rotate */
private Node rotateRight(Node h) {
assert isRed(h.left);
Node x = h.left;
h.left = x.right;
x.right = h;
x.color = h.color;
h.color = RED;
return x;
}- 變色
/* flip colors */
private void flipColors(Node h) {
assert !isRed(h);
assert isRed(h.left);
assert isRed(h.right);
h.color = RED;
h.left.color = BLACK;
h.right.color = BLACK;
}插入操作
從圖中可以看出，插入的次序不同，需要轉換的操作也不同，分三種情況（圖中每一列是一種情況）：
- 已有a和b時，c插入在b的右子節點，直接變色即可
- 已有b和c時，a插入在b的左子節點，先右轉把b滑上去，成1中的狀態，再變色即可
- 已有a和c時，b插入在a的右子節點，先左轉把a滑下去，成2中的狀態，再右轉＋變色即可
從上面的分析可以看出，三種情況之間有轉換關係，且逐步趨向簡單，如下圖所示：
根本原因在於，2-3樹中，是把3-node中處於中間的那個鍵傳遞給父節點，所以在紅黑樹中，當有一個節點連了兩個 red link時，說明這三個點是一個3-node，但次序還需要調整，從而達到中間鍵在最上的狀態，進而變色。而這個這個調整的趨勢則是先讓b處於a,c中間(即a的父，c的左子，成一條線)，再讓b成爲a,c的父節點，最後變色。記住這個順序和原因，寫代碼就簡單了，狀態3->狀態2->狀態1
private Node put(Node h, Key key, Value val) {
//insert at bottom (and color it red)
if (h == null) return new Node(key, val, RED);
int cmp = key.compareTo(h.key);
if (cmp < 0) {
h.left = put(h.left, key, val);
} else if (cmp > 0) {
h.right = put(h.right, key, val);
} else {
h.val = val;
}
if (isRed(h.right) && !isRed(h.left)) h = rotateLeft(h);// lean left
if (isRed(h.left) && isRed(h.left.left)) h = rotateRight(h);//balance 4-node
if (isRed(h.left) && isRed(h.right)) flipColors(h);//split 4-node
return h;
}紅黑樹的高度 h <= 2 lg N，證明：
- Every path from root to null link has same number of black links.
- Never two red links in-a-row.
B-Trees(B樹)
最後簡單提一下B樹，就是將2-3樹一般化，將每個節點的key-link pairs增加到 M - 1
- At least 2 key-link pairs at root.
- At least M / 2 key-link pairs in other nodes.
- External nodes contain client keys.
- Internal nodes contain copies of keys to guide search.
在B樹中查找
- Start at root.
- Find interval for search key and take corresponding link.
- Search terminates in external node.
在B樹中插入
- Search for new key.
- Insert at bottom.
- Split nodes with M key-link pairs on the way up the tree.
命題：A search or an insertion in a B-tree of order M with N keys requires between log M-1 N and log M/2 N probes
