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將三角網格上的頂點座標（x，y，z）看作3個獨立的標量場，那麼網格上每個三角片都存在3個獨立的梯度場。該梯度場是網格的微分屬性，相當於網格的特徵，在形變過程中隨控制點集的移動而變化。那麼當用戶拖拽網格上的控制點集時，網格形變問題即變爲求解以下式子：
根據變分法，上式最小化即求解泊松方程：
其中Φ爲待求的網格形變後坐標，w爲網格形變後的梯度場。
上式可以進一步表示爲求解稀疏線性方程組：
其中L爲網格的拉普拉斯算子，b爲梯度場w在網格頂點處的散度值。
問題的關鍵是如何得到網格形變後的梯度場w，文章[Yu et al. 2004]提到其是通過由控制點集變換的加權運算得到，並且提出了幾種不同的加權方式（線性加權，高斯加權等）。另外文章[Zayer et al. 2005]中提到可以在網格內構建一個調和場作爲加權係數。
1.離散梯度算子定義：
假設f是一個分片線性函數，在網格的每個三角片{xi，xj，xk}的頂點處有f(xi)=fi，f(xj)=fj，f(xk)=fk，通過線性插值可以知道f在三角片上每一點處的值爲：
這樣f的梯度如下：
其中基函數Φi，Φj，Φk滿足Φi+Φj+Φk=1，那麼它們梯度之和▽Φi+▽Φj+▽Φk=0。所以f的梯度可以寫成如下形式：
經簡單計算可以求得▽Φi的表達式是
，同樣也可以寫出▽Φj、▽Φk的表達式，其中⊥表示將向量逆時針旋轉90度，A表示三角片的面積。
2.離散散度算子定義：
設向量值函數w：S→R3，S表示網格，w表示在每個三角片上的向量，那麼w在頂點xi處的散度可以定義爲：
其中T(xi)表示頂點xi的1環鄰域三角片，AT表示三角片T的面積。
3.離散Laplace算子定義：
將梯度算子表達式代入散度算子表達式可以得到頂點xi處的Laplace算子如下形式：
其中N(xi)表示頂點xi的1環鄰域點。
效果：
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參考文獻：
[1] Y. Yu, K. Zhou, D. Xu, X. Shi, H. Bao, B. Guo, and H.-Y. Shum. "Mesh Editing with Poisson-Based Gradient Field Manipulation." ACM Transactions on Graphics (Proc. SIGGRAPH) 23:3 (2004), 644-51.
[2] R. Zayer, C. Rossl, Z. Karni, and H.-P. Seidel. "Harmonic Guidance for Surface Deformation." Computer Graphics Forum (Proc. Eurographics) 24:3 (2005), 601-10.
[3] 許棟. 微分網格處理技術[D]. 浙江大學, 2006.
[4] 劉昌森. 三角網格曲面上的laplace算子及其應用[D]. 中國科學技術大學, 2012.
