常微分方程的数值求解

常微分方程

首先理解一下什么是常微分方程,简单的说就是只有一个未知数的微分方程,具体定义如下:
凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。
一阶常微分方程的初值问题是:

{y′=f(x,y),y(x0)=y0,$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=f(x,y),\\ y(x_0)=y_0,\end{array}$$

其中y=y(x)$y=y(x)$ 是未知函数,y(x0)=y0$y(x_0)=y_0$ 是初值条件,而f(x,y)$f(x,y)$ 是给定的二元函数

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简单的数值方法和欧拉公式

简单的数值方法就是用差商代替导数,公式如下:

yn+1=yn+hf(xn,yn)(n=0,1,2,⋯)$$y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)(n=0,1,2,\cdots )$$

其中h$h$ 是步长;
改进的欧拉方法:

{y¯n+1=yn+hf(xn,yn)yn+1=yn+h2[f(xn,yn)+f(xn+1,y¯n+1)]预测校正$$\{\begin{array}{ll}{\overline{y}}_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)& \text{预测}\\ y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},{\overline{y}}_{n+1})]& \text{校正}\end{array}$$

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龙格-库塔(Runge-Kutta)方法

欧拉方法是龙格-库塔方法的一个特例,其局部截断误差为一阶泰勒余项O(h2)$O(h^2)$ ,为了使误差更小,我们可以做更高阶的误差截断,这也就是我们Runge-Kutta方法的基本原理,具体推导可参考《数值分析》的第八章.其公式如下:

⎧⎩⎨⎪⎪yn+1=yn+h∑ri=1ciKi,K1=f(xn,yn),Ki=f(xn+λih,yn+h∑i−1j=1uijKj)(i=2,3,⋯,r),$$\{\begin{array}{l}{y}_{n+1}=y_n+h\sum _{i=1}^r{c}_i{K}_i,\\ K_1=f(x_n,y_n),\\ K_i=f(x_n+{\lambda }_{i}h,y_n+h\sum _{j=1}^{i-1}{u}_{i}j{K}_j)(i=2,3,\cdots ,r),\end{array}$$

当r=1时就是欧拉方法,当r=2时,就是改进的欧拉方法,这里我们不做具体推导,而是看一下matlab中封装好的4阶Runge-Kutta方法的函数实现ode45函数.

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ode45

先看一个简单的例子:dydx=y+3xx2$\frac{dy}{dx}=\frac{y+3x}{x^2}$ ,初值y(0)=−2$y(0)=-2$ ,求解区间为[14]$[14]$ ,代码如下:

odefun=@(x,y) (y+3*x)/x^2;
tspan=[1 4];
y0=-2;
[x y]=ode45(odefun,tspan,y0)
plot(x,y)

但是我们再看另外一个例子:

{y′=yx−2y20<x<3y(0)=0$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=\frac{y}{x}-2y^2\text{0<x<3}\\ y(0)=0\end{array}$$

我们编写如下代码:

odefun=@(x,y) y/x-2*y^2;
tspan=[0 3];
y0=0;
[x y]=ode45(odefun,tspan,y0)
plot(x,y)
disp(y)

发现没有数值解

于是我们把代码进行了如下修改:

odefun=@(x,y) fun(x,y);
tspan=[0 3];
y0=0;
[x y]=ode45(odefun,tspan,y0);
plot(x,y)

function dy = fun(x,y)
if(x==0)
    dy=1-2*y^2
else
    dy = y/x-2*y^2
end
end

这里需要强调一点的是,Runge-Kutta法针对的是连续的函数f$f$ ,由于在例子中,函数在x=0$x=0$ 处是不连续的,所以在这个地方是需要单独处理的,在这里,yx$\frac{y}{x}$ 在x=0$x=0$ 处的导数为1(洛必达法则,即00=1$\frac{0}{0}=1$ )