例說Hausdorff距離

原創

2020-02-21 04:52

給定歐氏空間中的兩點集，，Hausdorff距離就是用來衡量這兩個點集間的距離。
　　　　　　　　　　

　　其中，，。稱爲雙向Hausdorff距離，稱爲從點集A到點集B的單向Hausdorff距離。相應地稱爲從點集B到點集A的單向Hausdorff距離。
　　下面從一個例子來理解Hausdorff距離。
　　
　　上圖中，給出了A,B,C,D四條路徑，其中路徑A具體爲（16-17-18-19-20），路徑B具體爲（1-2-3-4-9-10）。要求Hausdorff距離，則需要先求出單向Hausdorff距離和。
　　對於，以A中的點16爲例，在路徑B中的所有點中，距離點16最近的是點1，距離爲3。即。同理由圖可得，，，。在它們中，值最大的爲3，故。
　　同理可得，。
　　所以。
　　同理可求出上圖中四條路徑間的單向Hausdorff距離如下表所示：
　　
　　雙向Hausdorff距離是單向Hausdorff距離和兩者中的較大者，顯然它度量了兩個點集間的最大不匹配程度。
　　
　　當A,B都是閉集的時候，Hausdorff距離滿足度量的三個定理：

　　(1) ，當且僅當A=B時，。

　　(2)

　　(3)
　　若凸集A,B滿足且，並記，分別爲A,B邊界的點集合，則A,B的Hausdorff距離等於，的Hausdorff距離。
　　Hausdorff距離易受到突發噪聲的影響。
　　
　　當圖像受到噪聲污染或存在遮擋等情況時，原始的Haudorff距離容易造成誤匹配。所以，在1933年，Huttenlocher提出了部分Hausdorff距離的概念。
　　簡單地說，包含q個點的集合B與集合A的部分Hausdorff距離就是選取B中的K（且）個點，然後求這K個點到A集合的最小距離並排序，則排序後的第K個值就是集合B到集合A的部分單向Hausdorff距離。定義公式如下：
　　　　　　　　　　
　　相應地，部分雙向Hausdorff距離定義爲：
　　　　　　　　　　