軟導證明題

1.

·

Negative(I)=2k−I

N=∑i=1ndiRi−1

證明進制轉化是對的

對於一個數x=(xnxn−1...x1)2 ，有：

x=∑i=1ndi2i−1

即：

x=xn∗2n−1+xn−1∗2n−2+...+x3∗22+x2∗21+x1∗20

即：

x=23∗∑i=4ndi2i−4+(x3∗22+x2∗21+x1∗20)∗80

即：

x=81∗∑i=4ndi2i−4+(x3∗22+x2∗21+x1∗20)∗80

即：

x=82∗∑i=7ndi2i−7+(x3∗22+x2∗21+x1∗20)∗81+(x3∗22+x2∗21+x1∗20)∗80

依次類推，可見每三位讀取轉化爲8進制是正確的。

證明負數等於取反加1

已知Negative(x)=2n−x ，
令y爲x每位取反後加1，下證y=Negative(x) .

x=x0∗2n−1+x1∗2n−2+...+xn−1∗20

y=(1−x0)∗2n−1+(1−x1)∗2n−2+...+(1−xn−1)∗20+1

即：

y=2n−1+2n−2+...+21+20−(x0∗2n−1+x1∗2n−2+...+xn−1∗20)+1

也即：

y=(2n−1+2n−2+...+21+20+1)−(x0∗2n−1+x1∗2n−2+...+xn−1∗20)

由等比數列求和可得：

y=2n−(x0∗2n−1+x1∗2n−2+...+xn−1∗20)

即：

y=2n−x

所以： y=Negative(x)

證明n位有符號二進制數x向m位有符號二進制數擴展時，使用最高位擴展。

證明：
(1)當x爲正數的時候顯然成立。
(2)當x爲負數的時候x0=1 ，有

X=2n−X補n=2n−(x0∗2n−1+x1∗2n−2+...+xn−1∗20)

X=2m−X補m=2m−x0∗(2m−1+2m−2+...+2m−n−1)−(x0∗2n−1+x1∗2n−2+...+xn−1∗20)

把 x0=1 代入上式，化簡得：

X=2m−X補m=2m−(2m−2n)−(x0∗2n−1+x1∗2n−2+...+xn−1∗20)

從而1式和2式相等。待證等式左右兩邊相等。證畢。