lintcode: ugly number

問題描述

Ugly number is a number that only have factors 3, 5 and 7.

Design an algorithm to find the Kth ugly number. The first 5 ugly numbers are 3, 5, 7, 9, 15 …

問題分析

這個題，有多種方法求解，常見的是有輔助數據結構，比如priority_queue，或是常說的最大最小堆也可。

解法一：時間複雜度O(k log k)，空間複雜度O(k)

• 使用priority_queue模擬最小堆： priority_queue<int, vector<int>, greater<int> >. 從中取出最小的 ugly number , 然後該 ugly number 分別乘以3, 5, 7 然後又放進 priority_queue中
• 如果上述過程中，將乘以3,5,7之後的數直接放入 priority_queue 將可能導致重複放入的問題，比如：當取出 9， 然後放入27, 45, 63,。後面當取出 21 時，放入 63, 105, 147，這裏就重複放入 63 了。因此需要用個 unordered_set<int> 來 mark 哪些元素已經放入過了。

時間複雜度分析：共 k 個元素，每次取出一個元素時，都需要對堆進行操作，時間複雜度爲 O(k)，因此時間複雜度爲 O(k log k).

解法二：時間複雜度 O(k)，空間複雜度O(k)

• 使用 primes 數組來記錄前 k 個ugly_number。在生成 primes 數組時，新增入的元素，肯定是該 primes 數組中前面某些元素乘以3，或是乘以5，或是乘以7的結果，且是最小的。依據此思想，可以構建如下的代碼

class Solution {
public:
    /*
     * @param k: The number k.
     * @return: The kth prime number as description.
     */
    long long kthPrimeNumber(int k) {
        // write your code here
        vector<long long> primes(k+1);
        primes[0] = 1;
        int i3 = 0, i5 = 0, i7 = 0;
        for (int i = 1; i <= k; i++) {
            long long nextPrime = min( min(primes[i3]*3, primes[i5]*5), primes[i7]*7 );
            if (nextPrime == primes[i3]*3) i3++;
            if (nextPrime == primes[i5]*5) i5++;
            if (nextPrime == primes[i7]*7) i7++;
            primes[i] = nextPrime;
        }
        return primes[k];
    }

};

複雜度分析：現在只需要進行 k 次操作，每次操作耗時是 O(1)，因此總的時間複雜度是 O(k)，而總的時間複雜度是 O(k)。