加油站問題

問題描述

有一個環形軌道，上有若干加油站，一輛小車（初始時油箱爲空，油箱容量無線）從某個加油站出發繞一圈，路上需要耗油，已知 加油站的總油量和路上需要消耗地油量一樣多，問是否可以找到從一個加油站出發，小車可以正常繞一圈？

問題解析

其實上面的題與下面的題目類似：

有一個循環數組，{1, 2, -3, 4, -5, -8, 9}，問找出一個數，使得從該數出發，往右的所有子數組，比如 {2}, {2,-3}, {2, -3, 4}, {2, -3, 4, -5}, {2, -3, 4, -5, -8}, {2, -3, 4, -5, -8, 9}, {2, -3, 4, -5, -8, 9, 1} 每個子數組的和，都要 >= 0，即不爲負。顯然以2開始，是不行的，因爲 {2, -3} 的和就是-1，已經不滿足條件了。

問題解決1

構造如下一個雙向鏈表，鏈表節點中第一個元素指示爲index，第二個元素爲對應的值：
{0,1} <-> {1, 2} <-> {2, -3} <-> {3, 4} <-> {4, -5} <-> {5, -8} <-> {6, 9}

順序掃描，從頭開始。找出第一個節點，其值小於0,。
找出的節點爲 {2, -3}，那麼 * 我們要找的答案必須不是以該元素開始的，因爲它已經是-3了*，那麼將 {2, -3} 和前一項 （{1, 2}）整合，新的節點爲 {1, -3+2} 即 {1, -1}。整合後的節點的index值取整合前的前一項（{1,2}）的index值。
{0,1} <-> {1, -1} <-> {3, 4} <-> {4, -5} <-> {5, -8} <-> {6, 9}
現在發現 {1, -1} 還是-1，那麼繼續往前整合:
{0,0} <-> {3, 4} <-> {4, -5} <-> {5, -8} <-> {6, 9}

ok,現在可以開始考慮 {3,4}, 沒問題，繼續往下掃描。 遇到 {4, -5}節點時，又是-5，因此繼續往前整合：
{0,0} <-> {3, -1} <-> {5, -8} <-> {6, 9}
{0,-1} <-> {5, -8} <-> {6, 9}
{5, -8} <-> {6, 8} // 將 {0,-1} 與循環數組的前一項（{6,9}）整合

此時剩下 {5, -8}，繼續整合：
{6, 0}

剩下index就是6，因此對應的那個值即 9，就是我們需要的答案。
每個節點最多被掃描一次和刪除一次。時間複雜度爲 O(n)，空間複雜度爲 O(n)。

問題解決2

上述方案中，空間複雜度還是有點高。因此需要更好的方法。
其實在上述方案中，隱藏着另一幅視角：

倘若 arr[0..k]爲 arr[0..0] ~ arr[0..n-1] 之間的和首次爲負數，那麼 arr[0..k] 可以整合爲一個負數來看待。因此此時 arr[k] 必定是一個必經大的負數，那麼該負數可以一直往前整合，直到把 arr[0]也整合進來。整合之後的值依然爲負數。

OK，在上述情況下繼續討論，此時可以繼續直接從 arr[k+1]往下掃描。直到 arr[k+1 .. j] 爲負數，此時這個區間的數可以整合成一個負數。

直到從 arr[i .. n-1] 這段區間爲正數，而且該正數可以恰好cover掉之前整合後的若干負數。那麼 i 就是我們所求的。 從 i 開始的n的長度遞增的子數組，其和均爲非負。

算法思想：

 sum <- 0
for each i in 0 .. n-1
    sum <- sum + arr[i]
    if sum < 0 then 
        sum <- 0
    else if i == n-1 then 
        return i    // 一定會有個i，是的該式子滿足 且此時 sum > 0
    i <- i+1

時間複雜度爲O(n)，空間複雜度爲O(1)