杭電1160解題報告

原題見這裏

題目的大概意思：有一系列老鼠，每個老鼠有體重w以及奔跑的速度s，求這樣一個最大的序列，使得

m[i+1].w > m[i].w && m[i+1].s < m[i].s

一開始，我用“DAG上的動態規劃”來解決這道題目，把每一個老鼠看成是有向圖中的一個頂點，有向邊(v1, v2)存在的充要條件是m[v2].w > m[v1].w && m[v2].s < m[v1].s

那題目就轉換爲求一個DAG中不確定起點的最長路徑，用記憶化搜索DP輕鬆KO，但是我就不知道爲啥不能AC(算法複雜度太高？)，如果你知道，告訴我，不勝感激

d[i]表示以i爲起點的最長路徑

dp(i, n)//求解以i爲起點的最長路徑

最後，最長路徑 = max {dp(i, n)}

#include <iostream>
using namespace std;

struct Mouse{
  int w, s;
  Mouse(int _w, int _s): w(_w), s(_s) {}
  Mouse(){}
};

Mouse mouse[1001];
int G[1001][1001];
int d[1001];
int dp(int i, int n) {
  int& ans = d[i];
  if (ans > 0) return ans;
  ans = 1;
  for (int j = 1; j <= n; j++)
    if (G[i][j]) {
      int tmp = dp(j, n) + 1;
      if (ans < tmp) {
        ans = tmp;
      }
    }
  return ans;
}

void print_path(int i, int n) {
  cout << i << endl;
  for (int j = 1; j <= n; ++j)
    if (G[i][j] && d[i] == d[j] + 1) {
      print_path(j, n);
      break;
    }
}
int main() {
  int w,s,n = 0;
  memset(d, -1, sizeof(d));
  while (scanf("%d%d", &w, &s) != EOF)
    mouse[++n] = Mouse(w, s);
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    for (int j = 1; j <= n; ++j)
      if (mouse[j].w > mouse[i].w && mouse[j].s < mouse[i].s)
        G[i][j] = 1;
      else
        G[i][j] = 0;
  }
  int MAX = 0;
  int ans;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (MAX < dp(i, n)) {
      MAX = d[i];
      ans = i;
    }
  cout << ans << endl;
  print_path(ans, n);
  return 0;
}

其實一開始我想到的不是DAG，而是將所有老鼠按體重排序，並且體重相同的可以按照速度逆序排，這樣，題目就轉換爲求解最大遞減子序列，用dp[i]表示以第i個老鼠(排過序之後)爲起點的最大遞增子序列，狀態轉移方程爲

dp[i] = max {dp[j]}+1 && (m[j].w > m[i].w && m[j].s < m[i].s 表示j可以接在j前面 ) j = i+1, ... n

最後，放出AC代碼

#include <iostream>
using namespace std;

struct Mouse{
  int w, s, id, next;
  Mouse(int _w, int _s): w(_w), s(_s), next(-1) {}
  Mouse(){}
};

Mouse m[1001];
int dp[1001];

int cmp(const void *a, const void *b) {
  if (((Mouse*)a)->w == ((Mouse*)b)->w)
    return ((Mouse*)b)->s - ((Mouse*)a)->s;
  else
    return ((Mouse*)a)->w - ((Mouse*)b)->w;
}
int main() {
  int w, s, n = 1;
  while (cin >> m[n].w >> m[n].s)
    m[n].id = n++;
  --n;
  qsort(m+1, n, sizeof(m[1]), cmp);

  int max = 0;
  int flag;
  for (int i = n; i >= 1; --i) {
    dp[i] = 1;
    for (int j = i + 1; j <= n; ++j) {
      if (m[j].w > m[i].w && m[j].s < m[i].s)
        if (dp[i] < dp[j] + 1) {
          dp[i] = dp[j] + 1;
          m[i].next = j;
        }
    }
    if (max < dp[i]) {
      max = dp[i];
      flag = i;
      // dp[i]表示以i開頭的最大長度
    }
  }

  cout << max << endl;
  for (int i = 1; i <= max; ++i) {
    cout << m[flag].id << endl;
    flag = m[flag].next;
  }
  return 0;
}

注:鄙人最近按照杭電ACM分類來刷題，假期的最低限度是刷掉所有的DP類，並且每一道題目寫一個解題報告，如果有志同道合的朋友，歡迎加QQ 823797837共同學習交流，也可以加羣ACM新手羣161986576，老鳥飛過