Floyd-Warshall算法(Johnson算法暫時不介紹)
1.定義概覽
Floyd-Warshall算法(Floyd-Warshall algorithm)是解決任意兩點間的最短路徑的一種算法,可以正確處理有向圖或負權的最短路徑問題,同時也被用於計算有向圖的傳遞閉包。Floyd-Warshall算法的時間複雜度爲O(N3),空間複雜度爲O(N2)。
2.算法描述
1)算法思想原理:
Floyd算法是一個經典的動態規劃算法。用通俗的語言來描述的話,首先我們的目標是尋找從點i到點j的最短路徑。從動態規劃的角度看問題,我們需要爲這個目標重新做一個詮釋(這個詮釋正是動態規劃最富創造力的精華所在)
從任意節點i到任意節點j的最短路徑不外乎2種可能,1是直接從i到j,2是從i經過若干個節點k到j。所以,我們假設Dis(i,j)爲節點u到節點v的最短路徑的距離,對於每一個節點k,我們檢查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立,如果成立,證明從i到k再到j的路徑比i直接到j的路徑短,我們便設置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j),這樣一來,當我們遍歷完所有節點k,Dis(i,j)中記錄的便是i到j的最短路徑的距離。
2).算法描述:
a.從任意一條單邊路徑開始。所有兩點之間的距離是邊的權,如果兩點之間沒有邊相連,則權爲無窮大。
b.對於每一對頂點 u 和 v,看看是否存在一個頂點 w 使得從 u 到 w 再到 v 比己知的路徑更短。如果是更新它。
3).Floyd算法過程矩陣的計算----十字交叉法(點擊鏈接)
3.算法代碼實現
typedef struct
{
char vertex[VertexNum]; //頂點表
int edges[VertexNum][VertexNum]; //鄰接矩陣,可看做邊表
int n,e; //圖中當前的頂點數和邊數
}MGraph;
void Floyd(MGraph g)
{
int A[MAXV][MAXV];
int path[MAXV][MAXV];
int i,j,k,n=g.n;
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
{
A[i][j]=g.edges[i][j];
path[i][j]=-1;
}
for(k=0;k<n;k++)
{
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))
{
A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];
path[i][j]=k;
}
}
}
算法時間複雜度:O(n3)