Dijkstra算法
注意：
1.Dijkstra算法既可以求無向圖也可以求有向圖最短路徑。
2.Dijkstra 算法爲什麼邊上的權值非負?
Dijkstra算法當中將節點分爲已求得最短路徑的集合（記爲S）和未確定最短路徑的個集合（記爲V-S），歸入S集合的節點的最短路徑及其長度不再變更，如果邊上的權值允許爲負值，那麼有可能出現當與S內某點（記爲a）以負邊相連的點（記爲b）確定其最短路徑時，它的最短路徑長度加上這條負邊的權值結果小於a原先確定的最短路徑長度 而源點s到S中各頂點的最短路徑長度不大於從源點s到V-S中任何頂點的最短路徑長度，而此時a在Dijkstra算法下是無法更新的，由此便可能得不到正確的結果。求帶負權值邊的單源最短路徑可以用Bellman-Ford算法。
1.定義概覽
Dijkstra算法是典型的單源最短路徑算法，用於計算一個節點到其他所有節點的最短路徑。主要特點是以起始點爲中心向外層層擴展，直到擴展到終點爲止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路徑算法，在很多專業課程中都作爲基本內容有詳細的介紹，如數據結構，圖論，運籌學等等。注意該算法要求圖中不存在負權邊。
問題描述：在無向圖 G=(V,E) 中，假設每條邊 E[i] 的長度爲 w[i]，找到由頂點 V0 到其餘各點的最短路徑。（單源最短路徑）
2.算法描述
1)算法思想：設G=(V,E)是一個帶權有向圖，把圖中頂點集合V分成兩組，第一組爲已求出最短路徑的頂點集合（用S表示，初始時S中只有一個源點，以後每求得一條最短路徑 , 就將加入到集合S中，直到全部頂點都加入到S中，算法就結束了），第二組爲其餘未確定最短路徑的頂點集合（用V-S表示），按最短路徑長度的遞增次序依次把第二組的頂點加入S中。在加入的過程中，總保持從源點s到S中各頂點的最短路徑長度不大於從源點s到V-S中任何頂點的最短路徑長度。此外，每個頂點對應一個距離，S中的頂點的距離就是從s到此頂點的最短路徑長度，V-S中的頂點的距離，是從s到此頂點只包括S中的頂點爲中間頂點的當前最短路徑長度。(原作者寫得有點繞口，多讀幾遍就能理解)
2)算法步驟：
a.初始時，S只包含源點，即S＝{s}，s的距離爲0。V-A包含除s外的其他頂點，即:U={其餘頂點}，若s與V-A中某頂點有邊，則正常有權值，若某頂點不是s的鄰接點(Adjacenct Vertex)，則權值爲∞。
b.從V-A中選取一個距離s最小的頂點u，把u加入S中（該選定的距離就是s到u的最短路徑長度）。
c.以u爲新考慮的中間點，修改V-A中各頂點的距離；若從源點s到頂點v的距離（經過頂點k）比原來距離（不經過頂點k）短，則修改頂點u的距離值，修改後的距離值的頂點k的距離加上邊上的權。（這麼多廢話，兩行僞代碼）
if d[v]>d[u]+w(u,v)
then d[v]←d[u]+w(u,v)
執行動畫過程如下圖
3.算法代碼實現：
const int MAXINT = 32767;
const int MAXNUM = 10;
int dist[MAXNUM];
int prev[MAXNUM];
int A[MAXUNM][MAXNUM];
void Dijkstra(int v0)
{
bool S[MAXNUM]; // 判斷是否已存入該點到S集合中
int n=MAXNUM;
for(int i=1; i<=n; ++i)
{
dist[i] = A[v0][i];
S[i] = false; // 初始都未用過該點
if(dist[i] == MAXINT)
prev[i] = -1;
else
prev[i] = v0;
}
dist[v0] = 0;
S[v0] = true;
for(int i=2; i<=n; i++)
{
int mindist = MAXINT;
int u = v0; // 找出當前未使用的點j的dist[j]最小值
for(int j=1; j<=n; ++j)
if((!S[j]) && dist[j]<mindist)
{
u = j; // u保存當前鄰接點中距離最小的點的號碼
mindist = dist[j];
}
S[u] = true;
for(int j=1; j<=n; j++)
if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT)
{
if(dist[u] + A[u][j] < dist[j]) //在通過新加入的u點路徑找到離v0點更短的路徑
{
dist[j] = dist[u] + A[u][j]; //更新dist
prev[j] = u; //記錄前驅頂點
}
}
}
}4.算法實例
先給出一個無向圖
用Dijkstra算法找出以A爲起點的單源最短路徑步驟如下
