在一個差分約束系統(system of difference constraints)中，線性規劃矩陣A的每一行包含一個1和一個-1，A的其他所有元素都爲0。因此，由Ax≤b給出的約束條件是m個差分約束集合，其中包含n個未知量，對應的線性規劃矩陣A爲m行n列。每個約束條件爲如下形式的簡單線性不等式：xj-xi≤bk。其中1≤i,j≤n，1≤k≤m（mxn的矩陣表示有m行，也就是有m個約束條件；每行n個元素，也就是一共有n個變量）。
例如，考慮這樣一個問題，尋找一個5維向量x=(xi)以滿足：
這一問題等價於找出未知量xi，i=1,2,…,5，滿足下列8個差分約束條件：
x1-x2≤0
x1-x5≤-1
x2-x5≤1
x3-x1≤5
x4-x1≤4
x4-x3≤-1
x5-x3≤-3
x5-x4≤-3
該問題的一個解爲x=(-5,-3,0,-1,-4)，另一個解y=(0,2,5,4,1)，這2個解是有聯繫的：y中的每個元素比x中相應的元素大5。
引理：設x=(x1,x2,…,xn)是差分約束系統Ax≤b的一個解，d爲任意常數。則x+d=(x1+d,x2+d,…,xn+d)也是該系統Ax≤b的一個解。
約束圖
在一個差分約束系統Ax≤b中，m X n的線性規劃矩陣A可被看做是n頂點，m條邊的圖的關聯矩陣。對於i=1,2,…,n，圖中的每一個頂點vi對應着n個未知量的一個xi。圖中的每個有向邊對應着關於兩個未知量的m個不等式中的一個。
給定一個差分約束系統Ax≤b，相應的約束圖是一個帶權有向圖G=(V,E)，其中V={v0,v1,…,vn}，而且E={ (vi,vj) : xj-xi≤bk是一個約束}∪{ (v0,v1) , (v0,v2) , … , (v0,vn) }。引入附加頂點v0是爲了保證其他每個頂點均從v0可達。因此，頂點集合V由對應於每個未知量xi的頂點vi和附加的頂點v0組成。邊的集合E由對應於每個差分約束條件的邊與對應於每個未知量xi的邊(v0,vi)構成。如果xj-xi≤bk是一個差分約束，則邊(vi,vj)的權w(vi,vj)=bk（注意i和j不能顛倒），從v0出發的每條邊的權值均爲0。
定理：給定一差分約束系統Ax≤b，設G=(V,E)爲其相應的約束圖。如果G不包含負權迴路，那麼x=( d(v0,v1) , d(v0,v2) , … , d(v0,vn) )是此係統的一可行解，其中d(v0,vi)是約束圖中v0到vi的最短路徑(i=1,2,…,n)。如果G包含負權迴路，那麼此係統不存在可行解。
差分約束問題的求解
比如給出三個不等式
b-a<=k1,
c-b<=k2,
c-a<=k3,
求出c-a的最大值,我們可以把a,b,c轉換成三個點，k1，k2，k3是邊上的權，如圖
由題我們可以得知，這個有向圖中，由題b-a<=k1,c-b<=k2,得出c-a<=k1+k2,因此比較k1+k2和k3的大小，求出最小的就是c-a的最大值了
根據以上的解法，我們可能會猜到求解過程實際就是求從a到c的最短路徑，沒錯的....簡單的說就是從a到c沿着某條路徑後把所有權值和k求出就是c -a<=k的一個推廣的不等式約束，既然這樣，滿足題目的肯定是最小的k，也就是從a到c最短距離...
由上述定理可知，可以採用Bellman-Ford算法對差分約束問題求解。因爲在約束圖中，從源點v0到其他所有頂點間均存在邊，因此約束圖中任何負權迴路均從v0可達。如果Bellman-Ford算法返回TRUE，則最短路徑權給出了此係統的一個可行解；如果返回FALSE，則差分約束系統無可行解。
關於n個未知量m個約束條件的一個差分約束系統產生出一個具有n+1個頂點和n+m條邊的約束圖。因此採用Bellman-Ford算法，此外，可以用SPFA算法進行優化，複雜度爲O(km)，其中k 爲常數。
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