第八週程序設計課解題報告

第八週程序設計課解題報告

    下週期末考試啦，所以提前發佈解題報告，留點時間給大家複習吧~
    在寫報告前：這周的題略微有點boss的感覺了，因爲不再是單純的暴力可行了，需要你去想如何優化才行了呢，其實這個也是日後程序設計的核心問題之一。很多問題直接暴力寫的話很容易，但是往往會消耗（非常多）^n的時間或者空間。那麼我們就要去找到題目潛在的規律去優化他，減少不必要的花銷。如果不願意開動腦子的話，當上ceo，迎娶白富美（高富帥）？哼哼，還是安心當一個只會打字的“碼農”吧。
    
那麼進入正題~
1000. Easy Program
題目大意：給出n個數，然後有m個詢問，每次問原來的n個數當中第d個數的值是多少。
解：這個題目其實就是對數組的裸應用，真的不難。不過貌似有些同學是理解錯了題意才跪的。我們讀入詢問d後直接輸出a[d]即可（當然我的存儲方式是[1,n]而非[0,n-1]，使用後者的同學注意下標減一） 
程序：

#include <cstdio>

#include <iostream>

#include <cmath>

#include <cstring>

#include <string>

#include <algorithm>

#include <cstdlib>

using namespace std;

#define SQR(x) ((x)*(x))

#define MIN(a,b) ((a<b)?a:b)

#define MAX(a,b) ((a>b)?a:b)

int main(){

    int n, m, a[1111];

    cin>>n>>m;

    for (int i=1; i<=n; i++) cin>>a[i];

    for (int i=1; i<=m; i++){

        int tmp;

        cin>>tmp;

        cout << a[tmp] << endl;

    }

    return 0;

}                        

1001. Reversal
題目大意：首先給出n個數，然後給出m個操作，每次操作給出區間[x,y]，假設原來n個數是放置在[1,n]上的，那麼每次都把[x,y]這個區間進行翻轉操作。最後再輸出經過m次操作以後[1,n]上的數的數值。
解：不斷進行交換操作就好了，但是我發現很多同學喜歡把交換的區間映射到[1,y-x+1]上，然後再進行翻轉，其實這樣不是不行，時間也不會慢，但是會使得你的下標比較容易寫錯。其實交換步驟變成x與y交換，然後x--，y++，直到x>y就好了。
哦對了，還有輸出格式的問題，注意最後一個數後面是【沒有空格】的，同時記得【換行】！ 

程序：

#include <cstdio>

#include <iostream>

#include <cmath>

#include <cstring>

#include <string>

#include <algorithm>

#include <cstdlib>

using namespace std;

#define SQR(x) ((x)*(x))

#define MIN(a,b) ((a<b)?a:b)

#define MAX(a,b) ((a>b)?a:b)

int main(){

    int n, m, a[1111];

    cin>>n>>m;

    for (int i=1; i<=n; i++) cin>>a[i];

    for (int i=1; i<=m; i++){

        int x, y, kok;

        cin>>x>>y;

        while (x<=y){

            kok=a[x]; a[x]=a[y]; a[y]=kok;

            x++; y--;

        }

    }

    for (int i=1; i<=n; i++){

        cout << a[i];

        if (i<n) cout <<' ';

        else cout << endl;

    }

    return 0;

}                                  

1002. The Highest Guy
題目大意：給出n個數，再給m個詢問，每次詢問第b個人到第n個人中最高的人的身高（區間[b,n]上的最大數）
解：哼哼哼，這題很簡單啊輸入，然後每次找區間最大的就好了。我交，臥槽，怎麼tle了？
還記得我之前所講的tle如何查錯麼，算一算如果出數據的人滿懷惡意的話這題會怎麼出數據卡你呢？自然是讓你每次的詢問都花費時間最大就好了。每次都詢問1到n的最大值。而暴力尋找區間最大值的循環次數是區間長度（就是n），那麼加上m次詢問的話【時間複雜度】就是O（n*m)，題目數據n,m,都去到10w，也就是說，最壞情況下，這題的複雜度達到100億，然而我們的計算機一秒大概跑1億次，而時間限制只有1秒。所以肯定會超時咯。

怎麼優化呢？m次詢問肯定少不了了，那麼每次詢問是否一定要n次呢？有沒有非常神的辦法呢？對於1個數，那麼我們肯定1眼看出來了吧。那麼對於多個數，能否做到1眼看出來呢？

注意題目有一個特殊性質，詢問的是第b個人到n個人的最大值。那麼對於b-1呢？是不是會有重複的東西？ 

當詢問爲b==n時，我們一眼望出來了，對於b==n-1時，是不是可以看兩眼？對於b==n-2，望3眼？等等！我在看b==n-1時，如果把[n-1, n]的最大值保存下來放到help[n-1]裏，是不是不用看[n-1,n]的那兩眼了。好的，我們看了a[n-2],help[n-1]後，把最大值放入help[n-2]裏，在觀察[n-3,n]的時候，是不是只需要觀察a[n-3]和help[n-2]就好了？如此類推，我們要完成整個help數組的記錄，只需要2*n-1次即可了？實際上help[i]的意義就是記錄了從第 i個數到第n個數的最大值。所以我們讀入n後進行預處理得出help數組，詢問的時候直接用上就好了，每次詢問的處理顯然是O（1）的。

那麼原程序的時間複雜度已經下降到O（n+m)了（爲啥少了東西？因爲時間複雜度忽略常數）。這顯然可以滿足題目的要求了
對了，輸入輸出的次數多的時候記得不要用cin和cout，這兩個東西非常非常非常非常非常慢！
程序：

#include <cstdio>

#include <iostream>

#include <cmath>

#include <cstring>

#include <string>

#include <algorithm>

#include <cstdlib>

using namespace std;

#define SQR(x) ((x)*(x))

#define MIN(a,b) ((a<b)?a:b)

#define MAX(a,b) ((a>b)?a:b)

int a[111111], maxx[111111];

int main(){

    int n, m;

    cin>>n>>m;

    for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%d", &a[i]);

    maxx[n]=a[n];

    for (int i=n-1; i; i--){

        maxx[i]=MAX(a[i], maxx[i+1]);

    }

    int tmp;

    for (int i=1; i<=m; i++){

        scanf("%d", &tmp);

        printf("%d\n", maxx[tmp]);

    }

    return 0;

}               

1003. Yaroslav and Permutations                  

題目大意：給出n個數，問是否能通過若干次交換，反正就是能夠把他變成相鄰兩個數不會相等即可。
解：很容易猜想到， 這個問題的關鍵是n個數中重複次數最多的數不要超過（n+1)/2個即可存在一種辦法把數字都隔開。所以問題的關鍵在於找出最多的數有多少個。排序後統計？其實不必，因爲觀察到題目中有性質n個數的數值都在1~1000內，所以我們開一個數組f,f[i]表示i這個數字出現了幾次即可。（這個辦法其實也叫基數排序）詳情看程序可能好理解一點。

程序：

#include <cstdio>

#include <iostream>

#include <cmath>

#include <cstring>

#include <string>

#include <algorithm>

#include <cstdlib>

using namespace std;

#define SQR(x) ((x)*(x))

#define MIN(a,b) ((a<b)?a:b)

#define MAX(a,b) ((a>b)?a:b)

int a[111111], maxx[111111], f[1111];

int main(){

    int n;

    scanf("%d", &n);

    memset(f, 0, sizeof(f));

    for (int i=1; i<=n; i++){

        int tmp;

        scanf("%d", &tmp);

        f[tmp]++;

    }

    bool flag=true;

    for (int i=1; i<=1000; i++) if (f[i]>(n+1)/2){

        flag=false; break;

    }

    if (flag) cout << "YES" << endl;

    else cout << "NO" << endl;

    return 0;

}         

 1004. Sum                                                    

題目大意：給出n個數，每次詢問[x,y]這個區間內的所有數的和是多少。
解：這題爲啥會超時的分析可以參見第三題。我們考慮如何優化。這題是否能夠利用已有的信息使得詢問的時候不用重複觀察呢？我們先考慮如果詢問特殊化把，每次都會詢問[1,y]，那麼自然可以用一個數組預處理出[1,y]的和。但是題目要求的是[x,y]怎麼辦？其實，詢問的區間是連續的，那麼[x,y]是否等價於[1,y]-[1,x-1]呢？

程序:

#include <cstdio>

#include <iostream>

#include <cmath>

#include <cstring>

#include <string>

#include <algorithm>

#include <cstdlib>

using namespace std;

#define SQR(x) ((x)*(x))

#define MIN(a,b) ((a<b)?a:b)

#define MAX(a,b) ((a>b)?a:b)

int a[111111], maxx[111111], f[1111];

int main(){

    int n, m;

    scanf("%d%d", &n, &m);

    for (int i=1; i<=n; i++){

        scanf("%d", &a[i]);

        a[i]+=a[i-1];

    }

    a[0]=0;

    int x, y;

    for (int i=1; i<=m; i++){

        scanf("%d%d", &x, &y);

        printf("%d\n", a[y]-a[x-1]);

    }

    return 0;

}                               

最後想說兩段話：
1.不知道有多少同學有去聽週三晚林翰老師的信導課呢？在關於解題思路這一段，其實本週作業就有契合的地方。一是不必要詳細證明自己的猜想 ，這便是第四題，我們得到一個用常識判斷是對的策略，然而要數學證明就難了，有時候不必拘泥於這種問題。二是可以從小的數據出發去推出全局策略，我在第三題的優化步驟其實就是從小的出發，把問題特殊化，從區間爲1,2,3（長度）慢慢推出來，再總結能用於一般化的策略，最後就完成了優化了。
2.時候看自己寫的報告其實還是有不少錯誤的，如果有錯，歡迎各種方式指正，如果有疑問或者想進一步瞭解的知識點，歡迎以各種方式找我。能幫助到大家，纔是我寫這份解題報告的最大快樂：）