[Neuronal Dynamics 筆記] I Foundations of Neuronal Dynamics - 2 The Hodgkin-Huxley Model

1952年，Alan Lloyd Hodgkin和Andrew Fielding Huxley觀測魷魚🦑巨大軸突的放電情況，建立了以兩個人的名字共同命名的Hodgkin-Huxley Model，簡稱HH模型。

HH模型用物理電路結構，模擬了神經元的主要部分，能夠模擬神經元脈衝發放的過程，而且能對過程中的每一步驟作出合理解釋。HH模型是最著名的神經元發放模型，但由於模型較複雜，在大型網絡中很少使用。

1. HH模型的電路結構

和IF模型相似，HH模型也將神經元用三部分來表示；與IF模型不同的是，HH模型的電阻和電池的種類變多了。

電路	神經元
電容	細胞膜
電阻	鉀離子通道
	鈉離子通道
	其他離子通道
電池	鉀離子能斯特電位
	鈉離子能斯特電位
	其他離子能斯特電位

（1）電容

細胞膜是磷脂雙分子層，將細胞內環境和外環境相隔開。注入的電流可以短暫的保存在細胞內中，因此可以將細胞膜看成暫時存儲電流的器件——電容。

（2）電阻

細胞膜上鑲嵌着許多蛋白質，這些蛋白質包括離子泵和離子通道，本節主要討論離子通道。

蛋白質	功能
離子泵	爲了維持細胞內外的離子濃度差，主動運輸離子。
離子通道	當離子通道打開時，離子由於濃度差的存在，可以自由的通過離子通道。

如上圖左所示，離子通道打開，離子可以通過離子通道，此時該離子通道的電阻小；圖右，離子通道關閉，離子無法通過離子通道，此時該離子通道的電阻大。由於離子通道可以打開或關閉，離子通道的電阻是變化的。

神經元中，大量存在鉀離子和鈉離子，將它們倆的離子通道電阻，分別用可變電阻$R_K$, $R_{Na}$來表示，剩下的所有離子通道電阻，看成固定阻值的電阻$R_L$，稱爲泄漏電阻。

（3）電池

細胞內外存在許多離子，這些離子濃度往往不相同，比如鈉離子，在細胞外的濃度比在細胞內的濃度高（外高內低）；鉀離子，在細胞外的濃度比在細胞內的濃度低（外低內高）。由於離子濃度不同，所造成的電勢差，就是能斯特電位。 在HH模型中，用電池來模擬能斯特電位。

以鈉離子來舉例，鈉離子的能斯特電位爲+67mV（細胞內電壓-細胞外電壓），如果當前的鈉離子電位低於67mV，則會有鈉離子往細胞內流，以升高膜電位，等到電位接近67mV時，鈉離子就不再繼續內流了（其實是內流和外流的一樣多），這個時候鈉離子的電位處於一個平衡狀態，也就是67mV。如果當前的鈉離子電位高於67mV，則會有鈉離子往細胞外流，以降低膜電位，直到膜電位接近67mV。

在平衡狀態下，即內流外流離子相等，且細胞內外保持一定濃度差的情況下，離子的平衡電位就是能斯特電位。此外，能斯特電位也被稱爲逆轉電位，在上述例子中，當電位低於能斯特電位時，鈉離子內流；當電位高於能斯特電位時，鈉離子外流。當電位值由小於67mV到大於67mV時，鈉離子的流動方向會發生反轉（由向內變成向外），故而能斯特電位也被稱爲逆轉電位。

在HH模型中，將鉀離子和鈉離子的能斯特電位分別用$E_K$和$E_{Na}$來表示，其他離子的能斯特電位，用$E_L$表示。

2. 電流注入對模型產生的影響

當有電流I(t)注入HH模型時（即有動作電位到達神經元時），電流被分爲四部分$I_C$、$I_L$、$I_{Na}$、$I_K$。
$I(t) = I_C + I_L + I_{Na} + I_K \tag{a}$

（1）$I_C$

由電容的定義可知，$C=\frac{Q}{U}$
即，$Q=CU$
對兩邊取微分得到
$\frac{dQ}{dt} = C \frac{dU}{dt}$
上式的左邊爲電流的定義，所以$I_C = \frac{dQ}{dt} = C \frac{dU}{dt}$

（2）$I_L$

由歐姆定律可知$I_L = \frac{U_L}{R_L}$
在這條並聯電路上，總電壓爲U，電阻電壓爲$U_L = U - E_L$
用電導率$g_L$表示電阻$g_L = \frac{1}{R_L}$
所以$I_L = \frac{U_L}{R_L} = g_L (U - E_L)$

（3）$I_{Na}$

同理，$I_{Na} = \frac{U_{Na}}{R_{Na}} = g_{Na} m^3 h (U - E_{Na})$
其中，$g_{Na}$爲Na離子通道最大電導率，m、h是Na離子通道的門變量，在0到1之間變化。

可以看到，上式中多了$m^3h$，這是因爲Na離子通道的電阻不是一個恆定值，會隨着離子通道的打開或關閉而變化。當兩者都爲1時，電導率最大，此時電阻最小，離子通道打開；當兩者中有一個爲0時，電導率爲0，電阻很大，離子通道關閉。

（4）$I_K$

和Na離子電流相似，$I_K = \frac{U_K}{R_K} = g_K n^4 (U - E_K)$
其中，$g_K$爲K離子通道最大電導率，n是K離子通道的門變量，在0到1之間變化。

最終，(a) 式變爲
$I(t)=C\frac{dU}{dt}+g_L(U-E_L)+g_{Na}m^3h(U-E_{Na})+ g_Kn^4(U-E_K) \tag{1}$

（5）門變量m、n、h

門變量主要控制離子通道的打開程度，鈉離子有兩個門變量m、h，鉀離子有一個門變量n。

在Hodgkin和Huxley兩人的實驗中發現，門變量會以某個速度趨近於它們的目標值（圖B），這個目標值會隨着電壓的變化而變化（圖A）。

也就是說，當神經元受到刺激時，門變量會發生改變，趨向於相應電壓下的目標值，但趨向的速度有快有慢，比如門變量m，它的時間常數$\tau_m(u)$很小，在很短的時間內就可以趨近於目標值$m_0(u)$，所以當神經元受到刺激時，門變量m總是最先發生變化，隨後h和n纔會發生改變。

$\frac{d}{dt}m = - \frac{m-m_0(u)}{\tau_m(u)} \tag{2}$
$\frac{d}{dt}n = - \frac{n-n_0(u)}{\tau_n(u)} \tag{3}$
$\frac{d}{dt}h = - \frac{h-h_0(u)}{\tau_h(u)} \tag{4}$

公式(1)(2)(3)(4)共同組成了HH模型。