【NOI2006 Day2 T1】最大獲利
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Case Time Limit:2000MS
Description
新的技術正衝擊着手機通訊市場，對於各大運營商來說，這既是機遇，更是挑戰。 THU集團旗下的 CS&T通訊公司在新一代通訊技術血戰的前夜，需要做太多的準備工作，僅就站址選擇一項，就需要完成前期市場研究、站址勘測、最優化等項目。
在前期市場調查和站址勘測之後，公司得到了一共 N個可以作爲通訊信號中轉站的地址，而由於這些地址的地理位置差異，在不同的地方建造通訊中轉站需要投入的成本也是不一樣的，所幸在前期調查之後這些都是已知數據：建立第 i個通訊中轉站需要的成本爲 Pi（1≤i≤N）。
另外公司調查得出了所有期望中的用戶羣，一共 M個。關於第 i個用戶羣的信息概括爲 Ai, Bi和 Ci：這些用戶會使用中轉站 Ai和中轉站 Bi進行通訊，公司可以獲益 Ci。（1≤i≤M, 1≤Ai, Bi≤N）
THU集團的 CS&T 公司可以有選擇的建立一些中轉站（投入成本），爲一些用戶提供服務並獲得收益（獲益之和）。那麼如何選擇最終建立的中轉站才能讓公司的淨獲利最大呢？（淨獲利 = 獲益之和 – 投入成本之和）
Input
輸入中第一行有兩個正整數N 和M 。
第二行中有 N 個整數描述每一個通訊中轉站的建立成本，依次爲P1, P2, …, PN 。
以下 M 行，第(i + 2)行的三個數 Ai, Bi 和 Ci 描述第 i 個用戶羣的信息。
所有變量的含義可以參見題目描述。
Output
你的程序只要輸出一個整數，表示公司可以得到的最大淨獲利。
Sample Input
5 5
1 2 3 4 5
1 2 3
2 3 4
1 3 3
1 4 2
4 5 3
Sample Output
4
Hint
80%的數據中：N≤200，M≤1 000。
100%的數據中：N≤5 000，M≤50 000，0≤Ci≤100，0≤Pi≤100。
Source
NOI 2006 網絡流
看的 nodgd 的題解(http://oi.nks.edu.cn/showproblem?problem_id=1522)纔會的。
以下引用 nodgd 的原文
“
想必你一定想過這樣建圖：每個中轉站拆成兩個點，每個客戶是一條邊........但是總是行不通。
實際上這道題建圖確實比較神奇比較機智比較巧妙。
我們把(1)源點連邊向每個中轉站，容量爲修建的費用；(2)中轉站連邊向相應的客戶，容量無窮大；(3)客戶連邊向匯點，容量爲這個客戶製造的獲利。跑完最大流之後用所有客戶的獲利總和減去最大流即可。
爲什麼這樣建圖是正確的？我們來考慮一下這個圖的某個最小割：
1.最小割邊集合一定不含(2)類邊，因爲這樣就不滿足最小性了；
2.割邊集合中的所有(1)類邊，表示需要修建的中轉站；
3.割邊集合中的所有(3)類邊，表示被放棄的客戶。
於是這個割當然越小越好！！那當然是最小割，也就是最大流。
於是 最終答案==獲得的利潤-修建的費用
==所有客戶的獲利總和-(需要放棄的客戶+修建的費用)
==所有客戶的獲利總和-最大流
剩下的就是SAP裸跑一次就可以了。
#include<cstdio>
using namespace std;
#define inf 2000000000
#define maxet 350000
#define maxn 5009
#define maxm 50009
#define maxv (1+maxn+maxm+1)
int end[maxet], len[maxet], next[maxet], last[maxv], opp[maxet];
int et=0;
int vt, dis[maxv], vd[maxv];
int Min(int a, int b)
{
return a<b?a:b;
}
int dfs(int u, int flow)
{
int temp, v, delta, i, e;
if(u==vt)return flow;
delta=0;
for(i=last[u]; i; i=next[i])
{
e=end[i];
if(len[i]>0&&dis[u]==dis[e]+1)
{
temp=dfs(e, Min(flow-delta, len[i]));
len[i]-=temp;
len[opp[i]]+=temp;
delta+=temp;
if(delta==flow||dis[1]>=vt)return delta;
}
}
if(dis[1]>=vt)return delta;
vd[dis[u]]--;
if(vd[dis[u]]==0)dis[1]=vt;
dis[u]++;
vd[dis[u]]++;
return delta;
}
void adde(int s, int e, int c)
{
et++;
end[et]=e;
len[et]=c;
next[et]=last[s];
last[s]=et;
}
void addde(int s, int e, int c)
{
adde(s, e, c);
opp[et]=et+1;
adde(e, s, 0);
opp[et]=et-1;
}
int main()
{
int maxflow=0;
int ct=0;
int a, b, c;
int i;
int n, m, t;
scanf("%d%d", &n, &m);
vt=1+n+m+1;
for(i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d", &t);
addde(1, i+1, t);
}
for(i=1; i<=m; i++)
{
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
addde(1+a, 1+n+i, inf);
addde(1+b, 1+n+i, inf);
addde(1+n+i, vt, c);
ct+=c;
}
while(dis[1]<vt)
{
maxflow+=dfs(1, inf);
}
printf("%d", ct-maxflow);
return 0;
}
