對極幾何

                          

               

一. 對極幾何基本概念

對極幾何（Epipolar Geometry）描述的是兩幅視圖之間的內在射影關係，與外部場景無關，只依賴於攝像機內參數和這兩幅試圖之間的的相對姿態。

  

1. 基線（baseline）：直線CC'爲基線。

2. 對極平面束（epipolar pencil）：以基線爲軸的平面束。

3. 對極平面（epipolar plane）：任何包含基線的平面都稱爲對極平面。

4. 對極點（epipole）：攝像機的基線與每幅圖像的交點。比如，上圖中的點e和e'。

5. 對極線（epipolar line）：對極平面與圖像的交線。比如，上圖中的直線l和l'。

6. 5點共面：點x，x'，攝像機中心C、C'，空間點X是5點共面的。

7. 極線約束：兩極線上點的對應關係。

說明：直線l是對應於點x'的極線，直線l'是對應於點x的極線。極線約束是指點x'一定在對應於x的極線l'上，點x一定在對應於x'的極線l上。

二. 對極幾何原理

1. 理想模型

假設兩個相機的內部參數一致，比如焦距、鏡頭等，爲了數學描述的方便，需引入座標，由於座標是人爲引入的，因此客觀世界中的事物可以處於不同的座標系中。假設兩個相機的X軸方向一致，像平面重疊，座標系以左相機爲準，右相機相對於左相機是簡單的平移，用座標表示爲(Tx,0,0)。如下所示：

在左右相機中像平面像點的座標，如下所示：

綜上可知，深度Z和視差d成反比，這也是爲什麼近的物體看起來比遠的物體移動的快。

2. 實際模型

更一般的立體成像關係是兩個相機的座標無任何約束關係，相機的內部參數可能不同，甚至是未知的。要刻畫這種情

況下的兩幅圖像之間的對應關係，需要引入兩個重要的概念：本徵矩陣E和基本矩陣F。本徵矩陣E包含物理空間中兩個攝像機相關的旋轉和平移信息，基礎矩陣F除了包含E的信息外，還包含兩個攝像機的內參數。本徵矩陣E將左攝像機觀測到的點的物理座標與右攝像機觀測到的相同點的位置關聯起來。基礎矩陣F則是將一臺攝像機的像平面上的點在圖像座標（像素）上的座標和另一臺攝像機的像平面上的點關聯起來。

（1）本質矩陣E

本質矩陣E的推導過程，如下所示：

，（R是正交矩陣），，，

，，，，，，

左像平面上的一點乘以本質矩陣E，結果爲一條直線，該直線就是的對極線，且過在右像平面上的對應點。本質矩陣E的基本性質：秩爲2，且僅依賴於外部參數R和T。其中，P表示物點矢量，p表示像點矢量。

（2）基礎矩陣

由於本質矩陣E並不包含相機內參信息，且E是面向相機座標系的。實際上，我們更感興趣的是在像素座標系上去研究一個像素點在另一視圖上的對極線，這就需要用到相機內參信息將相機座標系和像素座標系聯繫起來。假設和是物理座標值，其對應的像素座標值爲和，相機內參矩陣爲M，那麼。根據，那麼。令基礎矩陣，那麼。

三. OpenCV雙目相機標定實現 [7]

參考文獻：

[1] 對極幾何基本概念：http://blog.csdn.net/tina_ttl/article/details/52749542

[2] 計算機視覺基礎-視差與深度信息：http://www.360doc.com/content/14/0205/03/10724725_349968116.shtml

[3] 計算機視覺基礎-對極幾何：http://www.360doc.com/content/14/0205/02/10724725_349963695.shtml

[4] 計算機視覺基礎-本質矩陣和基本矩陣：http://www.360doc.com/content/14/0205/03/10724725_349965748.shtml

[5] 本質矩陣和基礎矩陣的區別是什麼：https://www.zhihu.com/question/27581884

[6] 對極幾何--本質矩陣E和基礎矩陣F：http://blog.csdn.net/tanmengwen/article/details/7409886

[7] OpenCV雙目相機標定：http://blog.csdn.net/t247555529/article/details/48046859