淺析霍夫變換檢測直線和圓

原文：http://blog.csdn.net/shanchuan2012/article/details/74010561

1.本文目的

結合實例和一些演示來理解霍夫變換中的精髓：空間轉換。

我想我把我對空間轉換的理解寫完了，這篇文章也就結束了，所以文章的內容不會那麼完整，不會完整的講霍夫變換（比如一般形狀的檢測，說實話我是初學也不會），也不會講在opencv中的實現（我只能抄代碼，自己也寫不出來）。

爲什麼要寫這篇文章？我是自學+初學圖像處理，沒有人可以問，只能上網搜索，網上的教程總有地方我看不明白，有時候我會懷疑是不是自己理解力不行？其實更多時候我覺得不是，問題其實在於兩點，一是教程講的不好，不能引領新手逐步深入，二是沒有找到合適的教程，不同階段看的東西是不一樣的。所以我把自己的理解寫出來，希望可以幫助跟我有同樣困惑的人，也希望自己不要誤導了別人，讓人產生更多的困惑。

2.簡介

這篇文章不是教程，不講基本概念，要了解霍夫變換可以先參考以下文章：

【OpenCV入門教程之十四】OpenCV霍夫變換：霍夫線變換，霍夫圓變換合輯-毛星雲

以一般化視角串聯霍夫變換(hough transform)，從直線到圓再到廣義霍夫變換

Hough transform(霍夫變換)

看了以上資料我有很多地方是想不明白的，特別是看到檢測圓的時候，更別說一般形狀了。

剛看到霍夫變換的時候感覺挺神奇的，它來源於圖像處理中的幾何形狀檢測問題，用什麼辦法能夠檢測直線、圓或者別的形狀呢？最簡單的是直線，如果讓我來解決，要用什麼辦法才能把直線檢測出來呢？一時也想不到什麼辦法（最小二乘可以做擬合，但是一張圖上有多條直線怎麼辦？）。看到霍夫變換的時候想到了傅里葉變換，在這個空間不好解決的問題或者不明顯的特徵，給他來個變換，在另外一個空間上看問題，說不定就清楚了。

3.霍夫變換檢測直線

3.1笛卡爾座標下的例子

假如我們有如下幾個點：

它們完全在一條直線上，可以先告訴你們直線的方程是：$y=x+4$。在我們不知情的情況下要如何檢測？

直線的一般表示是：$y=kx+b$，$k$和$b$是兩個參數，現在反過來，將兩個參數當做自變量和變量，將方程寫成：$b=-xk+y$，這個時候座標軸就發生了變化，也就是空間發生了轉換，原來座標軸是$xy$，現在是$kb$。

以點$(1,5)$ （該點所在空間此處稱爲圖像空間，因爲我們是在做圖像處理，這些點都對應於圖像的像素）爲例，代入直線方程$y=kx+b$ ，確定一條直線至少要兩個點，只有一個點是不能確定一條直線的，但可以知道的是，直線一定過這個點，過一個點的直線有無數條，像這樣（這個時候已經可以思考了，每個點上都有無數條直線經過，那麼怎麼找出同時經過這些點的直線？特徵是什麼？沒錯，用條件：“斜率和截距一樣”就可以把那條直線找出來，這也是做空間變換的原因）：

由此得到：$b=-k+5$ ，這是一條直線的方程：

所以在$xy$空間中的一個點，對應於$kb$空間（此處稱爲參數空間）上的一條線。這個比較好理解，所謂的$kb$空間，代表了直線的斜率和截距，既然過一個點的線有無數條，那麼斜率和截距也有無數個，$kb$空間上的線就描述了斜率和截距的無數種組合，所以形成了一條線。將圖像空間上所有對應的點在參數空間上的直線都畫出來就是這樣：

可以看到它們相交於一個點了，這個點是$(k=1,b=4)$ ，沒錯，它就是我們要找的特徵點（前面說過要怎麼從無數條直線中找到經過這些點的直線），這正是圖像空間上所有點連成的直線的斜率和截距。這樣就把圖像空間上的那條直線檢測出來了，方程爲$y=1*x+4$ 。

但是實際上用極座標，爲什麼要用極座標而不用笛卡爾座標？上面給了回答，這裏不解釋。

3.2極座標下的例子

如何用一個角度和一段距離來表示過一個點的直線呢？方法是從原點作該直線的垂線，原點到該直線的距離用$\rho$表示，垂線與x軸的夾角用$\theta$表示，這樣就可以用$(\theta, \rho)$來表示過一個點的任意直線了。

還是在笛卡爾座標下，$(\theta, \rho)$的關係用$(x,y)$來表示，可以寫爲（如果不明白，可以先看看參考資料，這裏面的示意圖講的很清楚）：
$\rho = x * cos \theta + y * sin \theta$
還是一樣的思想，對於圖像空間上的一個點，過這個點的直線有無數條，所以$(\theta, \rho)$也有無數個組合，那麼在參數空間就對應於一條線（這時是一條曲線，管他是什麼線呢，反正它們都是描述那無數條直線的參數組合）。還是以點$(1,5)$ 爲例，它對應於參數空間的線：

將圖像空間上所有對應的點在參數空間上的直線都畫出來就是這樣：

它們也相交於一點，把交點找到（我這裏沒有計算交點，就當它是$(\theta_0, \rho_0)$吧，大概是$(2.3562, 2.7266)$ , 其實對應的是$(135 ^\circ,4*sin(135/180))$ , 這是我反推的）後，代入方程：$\rho = x * cos \theta + y * sin \theta$ 就可以得到過所有點的直線了：
$2.7266 = x * cos(2.3562) + y * sin (2.3562)$
整理後就是：$y=x+4$ .到此直線檢測結束。

4.霍夫變換檢測圓

都說檢測圓和檢測直線大體上是類似的，確實，從空間轉換的角度來說是一樣的，橢圓、任意形狀的檢測都是一樣的，只要找到合適的轉換方法。

圓的一般方程是這樣的：
$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
$(a,b)$爲圓心，$r$爲半徑，還是先給一個例子：

圖上面有一系列的點，它們是在同一個圓上，這裏已經把圓的輪廓給出來了，這裏只畫了圓的一半，但已經足夠說明問題了。要檢測這個圖像中的圓應該怎麼辦？還是用同樣的思考方式，來個空間轉換。將上面圓的方程重新寫一下：
$(a-x)^2 + (b-y)^2 = r^2$
這時有三個參數，圓心$(a,b)$，半徑$r$。

過一點的圓有多少個？無數個。以上圖的第1個點$(-2,1)$爲例，把它代入方程$(a-x)^2 + (b-y)^2 = r^2$，得到：$(a+2)^2 + (b-1)^2 = r^2$，這個方程描述的圓都經過點$(-2,1)$，它們在參數空間上看起來是這樣的：

這裏$r$取的是$[1,2,3,4,5]$，沒取成無限的，要是取成無限了，圖就沒有辦法看了。每一個參數空間上的圈圈上的點都對應於圖像空間上經過點$(-2,1)$的一個圓，如下面這個點：

它代表了什麼意思呢？它代表了一個經過點$(-2,1)$的一個圓，圓心爲$(-2,0)$，半徑爲1（圖上的半徑），這樣是不是就清楚了一些？從三維空間來看就是這樣（爲了能看得清楚，只畫了半徑爲1，3，5的三個圓）：

上面的圖是圖像空間中一個點對應在參數空間的曲線，將所有點對應在參數空間的曲線都畫出來就是這樣的（同樣爲了看的清楚，只取了3個半徑，分別爲1，3，5）：

其實我們的目的就是在參數空間找聚集點，思想和檢測直線是一樣的，找參數空間中曲線交點最多的位置，可以看到在$r=3$的時候所有圓都相交於同一個點，這個點對應的圓就是圖像空間中經過所有點的那個圓，這樣就把圓給檢測出來了。還可以看出，當r離真實值（$r=3$）越遠時，圓的相交的就越不明顯。

我想這時候對霍夫變換檢測直線和圓的原理應該說清楚了，從直線到圓，參數從2個變成了3個，對應的參數空間從2維變成了3維。如果是別的形狀，那麼它的參數可能更多，對應的參數空間維數就越多，這時就很難畫圖了。不過通過上面的理解，相信我們已經不需要再借助圖像來理解更高維的變換了，這時我們應該可以進行歸納了，不管多高維，我們都是去找在參數空間中曲線相交最多的位置。

5.數據不是那麼完美的情況

上面給出來的直線和圓都完全在同一條直線和同一個圓上，但實際上可能沒有那精確像下面這樣：

那麼參數空間中對應的相交點也不是完全在一個點上

圓的情況也是類似的，就不再給出。所以一般的做法是將參數空間分成很多個小格子，落在同一個格子裏面的就算同一個交點。

6.小結

我對霍夫變換的理解依然很膚淺，覺得奇妙的地方就是空間轉換。

這裏再來看以一般化視角串聯霍夫變換(hough transform)，從直線到圓再到廣義霍夫變換對作者簡練的總結更能體會吧。

當然在實際的算法實現中，遠比上面的圖示來的複雜，不然後效率是個問題。

7.作圖代碼

這裏附上作圖用的matlab代碼：

% 霍夫變換理解 圓 2維
close('all');

% 給出一個圓，圓心（1，1），半徑3
r = 3;
x = -2 : 0.5 : 4; % x定義域
y = sqrt(r.^2 - (x-1).^2) + 1 + 0*(rand(1,length(x)) - 0.5); % 半個圓

% 圖像空間上的圓
figure;
plot(x,y,'*'); % 實際點
hold on;
x0 = -2 : 0.01 : 4;
y0 = sqrt(r.^2 - (x0-1).^2) + 1;
plot(x0,y0); % 圓曲線
hold off;
axis equal; % 各個軸比例相同
xlabel('x');
ylabel('y');

% 參數空間
figure;
% set(gcf,'position',[100,100,500,500]);
theta = 0 : 0.01 : 2*pi;
for ir = 1 : 5
    for i = 1 : 1%length(x)
        a = x(i) - ir*cos(theta); % 極座標
        b = y(i) - ir*sin(theta);
        plot(a,b); % 畫圓
        hold on;
        plot(x(i),y(i), '*'); % 畫圓心
    end
end

hold off;
grid on;
set(gca, 'xtick', -6:1:8);
axis equal;
xlabel('a');
ylabel('b');
print(gcf, '-djpeg', 'c2_2.jpg', '-r72');

% 霍夫變換(Hough Transform)
% 直線
clc;clear;close('all');

% 測試點
x = [0,1,2,3,4];
y = x + 4 + 1*(rand(1,length(x))-0.5);
plot(x,y,'*');
hold on;
y1 = x + 4;
plot(x,y1);

xlabel('x');
ylabel('y');
print(gcf, '-djpeg', 'line1.jpg', '-r72');

% 笛卡爾座標
figure;
legd = {};
k = 0:3;
for i = 1 : length(x)
    b = -x(i)*k + y(i);
    plot(k,b)
    hold on;
    legd = [legd, num2str(i)];
end
hold off;
% legend(legd);
grid on;
xlabel('k');
ylabel('b');
print(gcf, '-djpeg', 'line2.jpg', '-r72');

% 極座標
figure;
theta = 0/180*pi : 0.1 : 180/180*pi;
for i = 1 : length(x)
    ruo = x(i)*cos(theta) + y(i)*sin(theta);
    plot(theta, ruo);
    hold on;
end
hold off;
grid on;
xlabel('\theta');
ylabel('\rho');
print(gcf, '-djpeg', 'line3.jpg', '-r72');

% 霍夫變換理解 圓 3維
close('all');

% 給出一個圓，圓心（1，1），半徑3
r = 3;
x = -2 : 0.5 : 4; % x定義域
y = sqrt(r.^2 - (x-1).^2) + 1 + 0*(rand(1,length(x)) - 0.5); % 半個圓

% 圖像空間上的圓
figure;
plot(x,y,'*'); % 實際點
hold on;
x0 = -2 : 0.01 : 4;
y0 = sqrt(r.^2 - (x0-1).^2) + 1;
plot(x0,y0); % 圓曲線
hold off;
axis equal; % 各個軸比例相同
xlabel('x');
ylabel('y');
print(gcf, '-djpeg', 'c1.jpg', '-r72');

% 參數空間
% 3維圖畫的很慢，可能有地方弄錯了
figure;
% set(gcf,'position',[100,100,500,500]);
theta = 0 : 0.01 : 2*pi;
for ir = 1 : 2 : 5
    for i = 1 : 1%length(x)
        a = x(i) - ir*cos(theta); % 極座標
        b = y(i) - ir*sin(theta);
        r = ir*ones(1,length(a));
        plot3(r,a,b,'b'); % 畫圓
        hold on;
        plot3(r,x(i),y(i), 'r*'); % 畫圓心
    end
end

hold off;
grid on;
set(gca, 'xtick', -6:1:8);
% axis equal;
xlabel('r');
ylabel('a');
zlabel('b');
print(gcf, '-djpeg', 'c2.jpg', '-r72');