矩陣的特徵值和特徵向量【轉】

第五章 矩陣的特徵值和特徵向量

^{來源：線性代數精品課程組   作者：線性代數精品課程組}

1．教學目的和要求：

(1) 理解矩陣的特徵值和特徵向量的概念及性質，會求矩陣的特徵值和特徵向量.

(2) 瞭解相似矩陣的概念、性質及矩陣可相似對角化的充分必要條件，會將矩陣化爲相似對角矩陣.

(3) 瞭解實對稱矩陣的特徵值和特徵向量的性質.

2．教學重點：

(1) 會求矩陣的特徵值與特徵向量.

(2) 會將矩陣化爲相似對角矩陣.

3．教學難點：將矩陣化爲相似對角矩陣.

4．教學內容：

 

本章將介紹矩陣的特徵值、特徵向量及相似矩陣等概念，在此基礎上討論矩陣的對角化問題.

                

§1 矩陣的特徵值和特徵向量

 

定義1  設是一個階方陣，是一個數，如果方程

                                                              (1)

存在非零解向量，則稱爲的一個特徵值，相應的非零解向量稱爲屬於特徵值的特徵向量．

   （1）式也可寫成，

                                                          (2)

這是個未知數個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是係數行列式

                        ,                                   (3)

 即                            

     上式是以爲未知數的一元次方程，稱爲方陣的特徵方程． 其左端是的次多項式，記作，稱爲方陣的特徵多項式．

      == 

           =

顯然，的特徵值就是特徵方程的解．特徵方程在複數範圍內恆有解，其個數爲方程的次數（重根按重數計算），因此，階矩陣有個特徵值．

設階矩陣的特徵值爲由多項式的根與係數之間的關係，不難證明

（ⅰ）

（ⅱ）

若爲 的一個特徵值，則一定是方程的根, 因此又稱特徵根，若爲方程的重根，則稱爲的重特徵根．方程 的每一個非零解向量都是相應於的特徵向量，於是我們可以得到求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下：

     第一步：計算的特徵多項式；

     第二步：求出特徵方程的全部根，即爲的全部特徵值；

     第三步：對於的每一個特徵值，求出齊次線性方程組：

                     

的一個基礎解系，則的屬於特徵值的全部特徵向量是

         　　（其中是不全爲零的任意實數）．

例1 　求的特徵值和特徵向量.

解  的特徵多項式爲

=

所以的特徵值爲

     當=2時，解齊次線性方程組得

解得令=1，則其基礎解係爲：=

因此，屬於=2的全部特徵向量爲：.

當=4時，解齊次線性方程組得令=1，

則其基礎解係爲：因此的屬於=4的全部特徵向量爲

[注]：若是的屬於的特徵向量，則也是對應於的特徵向量，因而特徵向量不能由特徵值惟一確定．反之，不同特徵值對應的特徵向量不會相等，亦即一個特徵向量只能屬於一個特徵值.

 

例2 　求矩陣

         的特徵值和特徵向量.

解 的特徵多項式爲

         == ，

所以的特徵值爲==2（二重根），.

對於==2，解齊次線性方程組．由

       ，

得基礎解係爲：   

因此，屬於==2的全部特徵向量爲：不同時爲零.

對於，解齊次線性方程組．由

        ，

        得基礎解係爲：

因此，屬於的全部特徵向量爲：

由以上討論可知，對於方陣的每一個特徵值，我們都可以求出其全部的特徵向量．但對於屬於不同特徵值的特徵向量，它們之間存在什麼關係呢？這一問題的討論在對角化理論中有很重要的作用．對此我們給出以下結論：

 

定理1 　屬於不同特徵值的特徵向量一定線性無關.

證明 　設是矩陣的不同特徵值，而分別是屬於的特徵向量，要證是線性無關的.我們對特徵值的個數作數學歸納法證明.

當時,由於特徵向量不爲零,所以結論顯然成立.

當＞1時,假設時結論成立.

由於是的不同特徵值,而是屬於的特徵向量,因此

              　　　　  

如果存在一組實數使

                                          (3)

則上式兩邊乘以得

                                   (4)

另一方面,       ,即

                                   (5)

(4)－(5)有

    

由歸納假設,  線性無關,因此

             

而互不相同,所以．於是(3)式變爲.

因,於是．可見線性無關．

課後作業：習題五　５－12

 

§２  相似矩陣

 

定義2  設、都是階方陣，若存在滿秩矩陣， 使得

                   　　　

則稱與相似，記作，且滿秩矩陣稱爲將變爲的相似變換矩陣．

“相似”是矩陣間的一種關係，這種關係具有如下性質：

⑴反身性：～ ；

⑵對稱性：若 ～ ，則～ ；

⑶傳遞性：若～， ～ ，則～． 

相似矩陣還具有下列性質：

 

定理2  相似矩陣有相同的特徵多項式，因而有相同的特徵值.

證明　　設～， 則存在滿秩矩陣，使

於是

      

推論  若階矩陣與對角矩陣

               相似，則即是的個特徵值．

定理3 設是矩陣的屬於特徵值的特徵向量,且~,即存在滿秩矩陣使,則是矩陣的屬於的特徵向量．

證明  因是矩陣的屬於特徵值的特徵向量，則有

               

於是

           

所以是矩陣的屬於的特徵向量．

下面我們要討論的主要問題是：對階矩陣，尋求相似變換矩陣，使

爲對角矩陣，這就稱爲把方陣對角化．

定理4 階矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是：矩陣有

個線性無關的分別屬於特徵值的特徵向量（中可以有相同的值）．

證明　　　必要性

    設與對角矩陣相似，則存在滿秩矩陣，使

                =

設則由上式得

                    

即

        ，

因此

                

所以是的特徵值，是的屬於的特徵向量，又因是滿秩的，

故        線性無關.

      充分性

   如果有個線性無關的分別屬於特徵值的特徵向量，

則有

                   

設則是滿秩的，於是

            ，

即

              =

[注]：由定理4，一個階方陣能否與一個階對角矩陣相似，關鍵在於它是否有個線性無關的特徵向量．

（1）如果一個階方陣有個不同的特徵值，則由定理1可知，它一定有個線性無關的特徵向量，因此該矩陣一定相似於一個對角矩陣．.

（2）如果一個階方陣有個特徵值（其中有重複的），則我們可分別求出屬於每個特徵值的基礎解系，如果每個重特徵值的基礎解系含有個線性無關的特徵向量，則該矩陣與一個對角矩陣相似.否則該矩陣不與一個對角矩陣相似．

可見，如果一個階方陣有個線性無關的特徵向量，則該矩陣與一個階對角矩陣相似，並且以這個線性無關的特徵向量作爲列向量構成的滿秩矩陣，使爲對角矩陣，而對角線上的元素就是這些特徵向量順序對應的特徵值．

 

例3　 設矩陣，求一個滿秩矩陣，使爲對角矩陣．

解  的特徵多項式爲

    

所以的特徵值爲.

對於解齊次線性方程組，得基礎解系

，即爲的兩個特徵向量

對於=2，解齊次線性方程組，得基礎解系

           ，即爲的一個特徵向量.

    顯然是線性無關的，取

            ，

即有

            .

例4    設

             ，考慮是否相似於對角矩陣．

解

      

所以的特徵值爲.

對於解齊次線性方程組，得基礎解系

即爲一個特徵向量，

對於，解齊次線性方程組，得基礎解系

，即爲的另一個特徵向量.

   由於只有兩個線性無關的特徵向量，因此不能相似於一個對角矩陣．

課後作業：習題五 13－16

 

§３  向量組的正交性

 

在解析幾何中，二維、三維向量的長度以及夾角等度量性質都可以用向量的內積來表示，現在我們把內積推廣到維向量中．

定義3  設有維向量，，令

   =，則稱爲向量和的內積．

[注]：內積是向量的一種運算，若用矩陣形式表示，當和是行向量時，＝，當和都是列向量時，＝．

內積具有下列性質（其中爲維向量，爲常數）：

（1）=；

（2）=；

（3）=+；

（4），當且僅當=0時等號成立．

定義4  令

                   ||=

稱||爲維向量的模（或長度）．

 

向量的模具有如下性質：

（1）當≠0時，||＞0；當=0時，||=0；

（2）||=|| ||，（爲實數）；

（3）||≤||||；

（4）|≤||+||；

特別地，當||=1時，稱爲單位向量.

如果||≠0，由性質（2），向量是一個單位向量．可見，用向量的模去除向量，可得到一個與同向的單位向量，我們稱這一運算爲向量的單位化，或標準化．

     如果、都爲非零向量，由性質（3）

                    ≤1，

於是有下述定義：

定義5  當|| ≠0，||≠0時

              　稱爲維向量、的夾角．

特別地：當=0時，，因此有

定義  當=0時，稱向量與正交．（顯然，若=0，則與任何向量都正交）．

向量的正交性可推廣到多個向量的情形.

定義6   已知個非零向量，若=0 ，則稱爲正交向量組．

定義7 若向量組爲正交向量組，且||=1，則稱　爲標準正交向量組．

例如，維單位向量組=，，

是正交向量組．

正交向量組有下述重要性質：

定理5  正交向量組是線性無關的向量組．

定理的逆命題一般不成立，但是任一線性無關的向量組總可以通過如下所述的正交化過程，構成正交化向量組，進而通過單位化，構成標準正交向量組．

定理6　設向量組線性無關，由此可作出含有個向量的正交向量組，其中，

     ，

     ，

     ……

     .

再取

                     

則爲標準正交向量組．

上述從線性無關向量組導出正交向量組的過程稱爲施密特（Schimidt）正交化過程．它不僅滿足與等價，還滿足：對任何，向量組與等價．

例5  把向量組=（1，1，0，0），=（1，0，1，0），=（-1，0，0，1）化爲標準正交向量組．

解 　容易驗證，，是線性無關的.

將，，正交化，令

=，

=，

再把單位化

            ，

            

             

則即爲所求的標準正交向量組．

定理7 若是維正交向量組，，則必有維非零向量，使

，成爲正交向量組．

推論  含有個（）向量的維正交（或標準正交）向量組，總可以添加個維

非零向量，構成含有個向量的維正交向量組．

例6 已知，求一組非零向量，使，，成爲正交向量組.

解    應滿足方程=0，即

                    .

它的基礎解係爲

                 

把基礎解系正交化，即爲所求．亦即取

                

其中於是得

         

定義8 如果階矩陣滿足（即），那麼稱爲正交矩陣．

正交矩陣具有如下性質：

（1）矩陣爲正交矩陣的充分必要條件是；

（2）正交矩陣的逆矩陣是正交矩陣；

（3）兩個正交矩陣的乘積仍是正交矩陣；

（4）正交矩陣是滿秩的，且|=1或．

 由等式  可知，正交矩陣的元素滿足關係式

          　（其中）

可見正交矩陣任意不同兩行（列）對應元素乘積之和爲0，同一行（列）元素的平方和爲1，因此正交矩陣的行（列）所構成的向量組爲標準正交向量組，反之亦然．於是有

 

定理8  一個階矩陣爲正交矩陣的充分必要條件是它的行（或列）向量組是一個標準正交向量組．

課後作業：習題五 1－4

 

§４實對稱矩陣的相似對角化

 

在§２中，我們討論了相似矩陣的概念和性質以及一般的階矩陣與對角矩陣相似的問題．本節將進一步討論用正交變換化實對稱矩陣爲對角矩陣的問題．爲此首先給出下面幾個定理．

定理9 　實對稱矩陣的特徵值恆爲實數．從而它的特徵向量都可取爲實向量．

定理10　實對稱矩陣的不同特徵值的特徵向量是正交的．

證明　 設是實對稱矩陣的兩個不同的特徵值，即． 是分別屬於的特徵向量，則

                    ，

根據內積的性質有

            ，

又    　    

所以

                ，

因 ，故 ，即與 正交.

定理11　設爲階對稱矩陣，是的特徵方程的重根，則矩陣的秩從而對應特徵值恰有個線性無關的特徵向量．

定理12　 設爲 階對稱矩陣，則必有正交矩陣，使，其中是以的個特徵值爲對角元素的對角矩陣．

    

例7 設 求一個正交矩陣，使爲對角矩陣.

解  ，

所以的特徵值，.

     對於，解齊次線性方程組，得基礎解系

                 ，

因此屬於的標準特徵向量爲

                  .

    對於，解齊次線性方程組，得基礎解系

                    

這兩個向量恰好正交，將其單位化即得兩個屬於的標準正交向量

           ，      .

於是得正交矩陣

                  

易驗證

                  .

                                                                                            

課後作業：習題五 17