從傅里葉變換到小波變換，並不是一個完全抽象的東西，可以講得很形象。小波變換有着明確的物理意義，如果我們從它的提出時所面對的問題看起，可以整理出非常清晰的思路。
下面我就按照傅里葉–>短時傅里葉變換–>小波變換的順序，講一下爲什麼會出現小波這個東西、小波究竟是怎樣的思路。
一、傅里葉變換
關於傅里葉變換的基本概念在此我就不再贅述了，默認大家現在正處在理解了傅里葉但還沒理解小波的道路上。（在第三節小波變換的地方我會再形象地講一下傅里葉變換）
下面我們主要將傅里葉變換的不足。即我們知道傅里葉變化可以分析信號的頻譜，那麼爲什麼還要提出小波變換？答案就是“對非平穩過程，傅里葉變換有侷限性”。看如下一個簡單的信號：
做完FFT（快速傅里葉變換）後，可以在頻譜上看到清晰的四條線，信號包含四個頻率成分。
一切沒有問題。但是，如果是頻率隨着時間變化的非平穩信號呢？
如上圖，最上邊的是頻率始終不變的平穩信號。而下邊兩個則是頻率隨着時間改變的非平穩信號，它們同樣包含和最上信號相同頻率的四個成分。做FFT後，我們發現這三個時域上有巨大差異的信號，頻譜（幅值譜）卻非常一致。尤其是下邊兩個非平穩信號，我們從頻譜上無法區分它們，因爲它們包含的四個頻率的信號的成分確實是一樣的，只是出現的先後順序不同。
可見，傅里葉變換處理非平穩信號有天生缺陷。它只能獲取一段信號總體上包含哪些頻率的成分，但是對各成分出現的時刻並無所知。因此時域相差很大的兩個信號，可能頻譜圖一樣。
然而平穩信號大多是人爲製造出來的，自然界的大量信號幾乎都是非平穩的，所以在比如生物醫學信號分析等領域的論文中，基本看不到單純傅里葉變換這樣naive的方法。
上圖所示的是一個正常人的事件相關電位。對於這樣的非平穩信號，只知道包含哪些頻率成分是不夠的，我們還想知道各個成分出現的時間。知道信號頻率隨時間變化的情況，各個時刻的瞬時頻率及其幅值——這也就是時頻分析。
二、短時傅里葉變換（Short-time Fourier Transform, STFT）
一個簡單可行的方法就是——加窗。把整個時域過程分解成無數個等長的小過程，每個小過程近似平穩，再傅里葉變換，就知道在哪個時間點上出現了什麼頻率了。”這就是短時傅里葉變換。
看圖：
時域上分成一段一段做FFT，不就知道頻率成分隨着時間的變化情況了嗎！用這樣的方法，可以得到一個信號的時頻圖了：
——此圖像來源於“THE WAVELET TUTORIAL”圖上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四個頻域成分，還能看到出現的時間。兩排峯是對稱的，所以大家只用看一排就行了。
是不是棒棒的？時頻分析結果到手。但是STFT依然有缺陷。使用STFT存在一個問題，我們應該用多寬的窗函數？窗太寬太窄都有問題：
窗太窄，窗內的信號太短，會導致頻率分析不夠精準，頻率分辨率差。窗太寬，時域上又不夠精細，時間分辨率低。
（這裏插一句，這個道理可以用海森堡不確定性原理來解釋。類似於我們不能同時獲取一個粒子的動量和位置，我們也不能同時獲取信號絕對精準的時刻和頻率。這也是一對不可兼得的矛盾體。我們不知道在某個瞬間哪個頻率分量存在，我們知道的只能是在一個時間段內某個頻帶的分量存在。 所以絕對意義的瞬時頻率是不存在的。）
——此圖像來源於“THE WAVELET TUTORIAL”
上圖對同一個信號（4個頻率成分）採用不同寬度的窗做STFT，結果如右圖。用窄窗，時頻圖在時間軸上分辨率很高，幾個峯基本成矩形，而用寬窗則變成了綿延的矮山。但是頻率軸上，窄窗明顯不如下邊兩個寬窗精確。
所以窄窗口時間分辨率高、頻率分辨率低，寬窗口時間分辨率低、頻率分辨率高。對於時變的非穩態信號，高頻適合小窗口，低頻適合大窗口。然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中寬度不會變化，所以STFT還是無法滿足非穩態信號變化的頻率的需求。
三、小波變換
那麼你可能會想到，讓窗口大小變起來，多做幾次STFT不就可以了嗎？！沒錯，小波變換就有着這樣的思路。
但事實上小波並不是這麼做的（關於這一點，方沁園同學的表述“小波變換就是根據算法，加不等長的窗，對每一小部分進行傅里葉變換”就不準確了。小波變換並沒有採用窗的思想，更沒有做傅里葉變換。）
至於爲什麼不採用可變窗的STFT呢，我認爲是因爲這樣做冗餘會太嚴重，STFT做不到正交化，這也是它的一大缺陷。
於是小波變換的出發點和STFT還是不同的。STFT是給信號加窗，分段做FFT；而小波直接把傅里葉變換的基給換了——將無限長的三角函數基換成了有限長的會衰減的小波基。這樣不僅能夠獲取頻率，還可以定位到時間了~
【解釋】
來我們再回顧一下傅里葉變換吧，沒弄清傅里葉變換爲什麼能得到信號各個頻率成分的同學也可以再借我的圖理解一下。
傅里葉變換把無限長的三角函數作爲基函數：
這個基函數會伸縮、會平移（其實是兩個正交基的分解）。縮得窄，對應高頻；伸得寬，對應低頻。然後這個基函數不斷和信號做相乘。某一個尺度（寬窄）下乘出來的結果，就可以理解成信號所包含的當前尺度對應頻率成分有多少。於是，基函數會在某些尺度下，與信號相乘得到一個很大的值，因爲此時二者有一種重合關係。那麼我們就知道信號包含該頻率的成分的多少。
仔細體會可以發現，這一步其實是在計算信號和三角函數的相關性。
看，這兩種尺度能乘出一個大的值（相關度高），所以信號包含較多的這兩個頻率成分，在頻譜上這兩個頻率會出現兩個峯。
以上，就是粗淺意義上傅里葉變換的原理。
如前邊所說，小波做的改變就在於，將無限長的三角函數基換成了有限長的會衰減的小波基。
這就是爲什麼它叫“小波”，因爲是很小的一個波嘛~
從公式可以看出，不同於傅里葉變換，變量只有頻率ω，小波變換有兩個變量：尺度a（scale）和平移量 τ（translation）。尺度a控制小波函數的伸縮，平移量 τ控制小波函數的平移。尺度就對應於頻率（反比），平移量 τ就對應於時間。
當伸縮、平移到這麼一種重合情況時，也會相乘得到一個大的值。這時候和傅里葉變換不同的是，這不僅可以知道信號有這樣頻率的成分，而且知道它在時域上存在的具體位置。
而當我們在每個尺度下都平移着和信號乘過一遍後，我們就知道信號在每個位置都包含哪些頻率成分。
看到了嗎？有了小波，我們從此再也不害怕非穩定信號啦！從此可以做時頻分析啦！
做傅里葉變換隻能得到一個頻譜，做小波變換卻可以得到一個時頻譜！
（1）時域信號
（2）傅里葉變換信號
（3）小波變換信號
——此圖像來源於“THE WAVELET TUTORIAL”
小波還有一些好處，比如，我們知道對於突變信號，傅里葉變換存在吉布斯效應，我們用無限長的三角函數怎麼也擬合不好突變信號：
然而衰減的小波就不一樣了：
以上只是用形象地給大家展示了一下小波的思想，希望能對大家的入門帶來一些幫助。畢竟如果對小波一無所知，直接去看那些堆砌公式、照搬論文語言的教材，一定會痛苦不堪。
在這裏推薦幾篇入門讀物，都是以感性介紹爲主，易懂但並不深入，對大家初步理解小波會很有幫助。文中有的思路和圖也選自於其中：
1. THE WAVELET TUTORIAL （強烈推薦，點擊鏈接：INDEX TO SERIES OF TUTORIALS TO WAVELET TRANSFORM BY ROBI POLIKAR）
2. WAVELETS：SEEING THE FOREST AND THE TREES
3. A Really Friendly Guide to Wavelets
4. Conceptual wavelets
但是真正理解透小波變換，這些還差得很遠。比如你至少還要知道有一個“尺度函數”的存在，它是構造“小波函數”的關鍵，並且是它和小波函數一起才構成了小波多分辨率分析，理解了它纔有可能利用小波做一些數字信號處理；你還要理解離散小波變換、正交小波變換、二維小波變換、小波包……這些內容國內教材上講得也很糟糕，大家就一點一點啃吧~
作者：咚懂咚懂咚
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