這裏要講的是導彈攔截的第二問，即：給定一個序列，求它的最小鏈覆蓋。
經典的做法是對每兩個可以搞到一起的點連邊，用之前講的h-k算法求一遍最大匹配，但是，這種方法的複雜度可能會退化到O(n^2)。一種有效的解法是利用dilworth定理求一遍最長反鏈，其複雜度爲O(nlog(n))。
先介紹一下偏序關係：對集合A中的兩個元素，引入一個序的概念，設爲R，很明顯，要麼R（x,y）,要麼R(y,x),要麼x，y之間根本沒有序。若對一個集合A和定義在A之上的序R，恆有：(1)R(x,x)(自反性);(2)若R(x,y)且R(y,x)則x=y(反對稱性)；(3)若R(x,y)且R(y,z),則有R(x,z)(傳遞性)，則稱A爲偏序集，記爲（A，R）。
對一個偏序集（A，R），若R(x,y)或R(y,x),則稱x，y是可比的，否則就是不可比的。
一個鏈是偏序集的一個子集，它的任意兩個元素都是可比的。
一個反鏈是偏序集的一個子集，它的任意兩個元素都是不可比的。
很明顯，導彈攔截中給出的序列對於R（i>j且ai<aj）是一個偏序集。題目所求的就是他的最小鏈覆蓋。
dilworth定理：對一個有限偏序集A，它的最小鏈覆蓋=最長反鏈。證明自己翻書。
於是，原問題就得到了一個完美的解決：求出原序列的的最長上升子序列，即爲所求的答案。
總之，在有限偏序集中，有：
(1)最長鏈=最小反鏈覆蓋
(2)最長反鏈=最小鏈覆蓋
再附一個鏈接：http://blog.csdn.net/emoizhang/article/details/8009123，他講了一下證明，不過他把鏈和反鏈的概念弄混了，不知道現在改過來沒有。對他的證明只要看思路就行了。
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