HDU多校第八場 1008 Andy and Maze —— 隨機 + 狀壓DP

題目鏈接：點我啊╭(╯^╰)╮

題目大意：

    $n$ 個點 $m$ 條邊的無向圖，有邊權
    選擇一個包含 $k$ 個點的路徑
    使得路徑邊權和最大

解題思路：

    可以枚舉每個點 $DFS$，看樣子不能過
    然後看題解發現了新東西：Color coding 問題
    用 $k$ 種顏色對每個點隨機染色
    然後就可以狀壓 $DP$：
    $dp[i][s]$ 表示以 $i$ 爲終止點，狀態爲 $s$ 的最大邊權和
    $dp[u][s] = max(dp[u][s], dp[v][s$ ^ $col[u]] ])$
    $dp[v][s] = max(dp[v][s], dp[u][s$ ^ $col[v]] ])$
    表示如果 $(u,v)$ 有連邊，保證每種顏色只取一種的情況下，相互更新

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    這樣答案所在的最長路徑，合法情況有 $k!$ 種，全部情況有 $k^k$ 種
    所以成功的概率爲 $\frac{k!}{k^k}$，期望次數爲$\frac{k^k}{k!}$
    發現只需要嘗試 $200$ 次所有就能成功
    時間複雜度：$O(\frac{k^k}{k!} \times 2^k \times m)$

核心：Color coding隨機 + 狀壓DP

#include<bits/stdc++.h>
#define rint register int
#define deb(x) cerr<<#x<<" = "<<(x)<<'\n';
using namespace std;
typedef long long ll;
using pii = pair <int,int>;
const int maxn = 1e4 + 5;
int T, n, m, k;
int col[maxn], dp[maxn][100];
struct node{
	int u, v, w;
} e[maxn];

int solve(){
	memset(dp, 128, sizeof(dp));
	for(int i=1; i<=n; i++) dp[i][col[i]] = 0;
	for(int s=1; s<1<<k; s++){
		for(int i=1; i<=m; i++){
			int u = e[i].u, v = e[i].v, w = e[i].w;
			if(s & col[u]) dp[u][s] = max(dp[u][s], dp[v][s ^ col[u]] + w);
			if(s & col[v]) dp[v][s] = max(dp[v][s], dp[u][s ^ col[v]] + w);
		}
	}
	int ret = 0;
	for(int i=1; i<=n; i++) ret = max(ret, dp[i][(1<<k)-1]);
	return ret;
}

int main() {
	srand(time(0));
	scanf("%d", &T);
	while(T--){
		scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
		for(int i=1; i<=m; i++) scanf("%d%d%d", &e[i].u, &e[i].v, &e[i].w);
		int ans = 0;
		for(int i=0; i<200; i++){
			for(int i=1; i<=n; i++) col[i] = 1 << (rand() % k);
			ans = max(ans, solve());
		}
		if(ans) printf("%d\n", ans);
		else puts("impossible");
	}
}