[題意]
給出一個n個點m條邊的無向連通圖,判斷圖中每條邊是否一定在最小生成樹上.
n,m<=100000.
[思路]
由於最小生成樹的性質,我們造出任意一棵最小生成樹,並記錄下與最小生成樹權值相等的所有邊.
暴力版:
沿着非樹邊x的兩個端點走到它們的lca,在環上去找與x權值相同的邊,如果找到,說明被替換的邊和x都不一定在最小生成樹上.
暴力做法優化版:
這裏又有一個結論:
如果x能替換邊y,那麼y一定是x在最小生成樹上組成的環中權值最大的邊.那麼我們只要把邊按照邊權值從小到大排序,再用並查集路徑壓縮,(類似刪邊最小生成樹的做法),可以更高效.
“橋”版:
題目中提到了”一定在最小生成樹上的邊”,也就是說沒有這條邊,最小生成樹就不會聯通,這就和”橋”的概念很像.如何判斷每條邊呢?
我們按照kruskal算法,按照邊權值枚舉邊,並查集判斷聯通情況,把權值相同的邊放在一起:如果有一條邊(權值爲x)在加入樹之前,兩個端點已經並在一個集合裏,說明有更小的邊權就能使兩點聯通,那麼這條邊一定是無效的.
現在我們要判斷的就是橋邊了.
我們把權值爲x的所有邊(除了無效邊)加入目前的圖裏,對於每一個聯通塊, 用tarjan算法判斷橋邊.再把權值爲x的每條邊用並查集合併到聯通塊裏.
暴力版:
<span style="font-size:18px;">#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
inline void rd(int &res){
res=0;char c;
while(c=getchar(),c<48);
do{
res=(res<<1)+(res<<3)+(c^48);
}while(c=getchar(),c>=48);
}
inline void print(int k){
if(k==0)return ;
print(k/10);
putchar((k%10)^48);
}
inline void sc(int k){
print(k);
if(k==0)putchar('0');
putchar('\n');
}
const int M=1e5+5;
const int oo=1e9;
const int S=18;
int L[M],R[M],dep[M],fa[M],cnt[M],ans[M],T=0,n,m,mark[M],eid[M],rfa[M][S],flag=0;
vector<int>e[M],out[M];
struct node{
int id,a,b,c;
}ed[M];
bool cmp(node a,node b){
return a.c<b.c;
}
int get(int x){
if(fa[x]!=x)fa[x]=get(fa[x]);
return fa[x];
}
void dfs(int x,int f,int d){
dep[x]=d;
L[x]=++T;
rfa[x][0]=f;
for(int i=0;i<e[x].size();i++){
int y=e[x][i];
if(y==f)continue;
dfs(y,x,d+1);
}
R[x]=T;
}
void UP(int &a,int step){
for(int i=S-1;i>=0;i--){
if(step&(1<<i))a=rfa[a][i];
}
}
int LCA(int a,int b){
if(a==b)return a;
if(dep[a]<dep[b])swap(a,b);
UP(a,dep[a]-dep[b]);
if(a==b)return a;
for(int i=S-1;i>=0;i--){
if(rfa[a][i]!=rfa[b][i])a=rfa[a][i],b=rfa[b][i];
}
return rfa[a][0];
}
void walk(int a,int lca,int id){
while(a!=lca){
if(ed[eid[a]].c==ed[id].c){
flag=1;ans[ed[eid[a]].id]=0;
}
a=rfa[a][0];
}
}
void chk(int id){
int a=ed[id].a,b=ed[id].b,c=ed[id].c;
int lca=LCA(a,b);
flag=0;
walk(a,lca,id);
walk(b,lca,id);
if(flag)ans[ed[id].id]=0;
}
int main(){
int i,j,k,a,b,c,mx=oo,tot=0,pre=-1;
scanf("%d %d",&n,&m);
for(i=1;i<=m;i++){
rd(a);rd(b);rd(c);
ed[i]=(node){i,a,b,c};
ans[i]=2;
}
for(i=1;i<=n;i++)fa[i]=i,cnt[i]=1;
sort(ed+1,ed+1+m,cmp);
for(i=1;i<=m;i++){
int a=ed[i].a,b=ed[i].b,c=ed[i].c;
int x=get(a),y=get(b);
if(c>mx)break;
if(c!=pre){pre=c;tot++;}
if(x!=y){
fa[x]=y;
cnt[y]+=cnt[x];
e[a].push_back(b);
e[b].push_back(a);
mark[i]=1;
ans[ed[i].id]=1;
if(cnt[y]==n)mx=c;
}
}
dfs(1,0,0);
for(i=1;i<S;i++){
for(j=1;j<=n;j++)rfa[j][i]=rfa[rfa[j][i-1]][i-1];
}
for(i=1;i<=m;i++){
int a=ed[i].a,b=ed[i].b;
if(rfa[a][0]==b||rfa[b][0]==a){
int x=a;
if(dep[b]>dep[a])x=b; eid[x]=i;
}
}
for(i=1;i<=m;i++){
if(ed[i].c>mx)break;
if(!mark[i])chk(i);
}
for(i=1;i<=m;i++)sc(ans[i]);
return 0;
<span style="font-family:Comic Sans MS;">}</span></span><span style="font-size:18px;">#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
const int M=100005;
int ans[M],low[M],dfn[M],head[M],n,m,fa[M],tot=0,timestamp=0;
struct node{
int to,nex,id;
}e[M*2];
struct edge{
int a,b,c,id;
}ed[M];
inline void rd(int &res){
res=0;
char c;
while(c=getchar(),c<48);
do res=(res<<3)+(res<<1)+(c^48);
while(c=getchar(),c>47);
}
void print(int x){
if(x==0)return ;
print(x/10);
putchar((x%10)^48);
}
void sc(int x){
print(x);
if(x==0)putchar('0');
putchar('\n');
}
bool cmp(edge a,edge b){
return a.c<b.c;
}
int get(int x){
if(fa[x]!=x)fa[x]=get(fa[x]);
return fa[x];
}
void dfs(int x,int id){
dfn[x]=low[x]=++timestamp;
for(int i=head[x];~i;i=e[i].nex){
int to=e[i].to,eid=e[i].id;
if(dfn[to]==0){
dfs(to,i);
low[x]=min(low[x],low[to]);
if(low[to]>dfn[x])ans[eid]=1;//是橋邊 ,一定會在最小生成樹中
}
else if(dfn[to]<dfn[x]&&i!=(id^1))low[x]=min(low[x],low[to]);
}
//printf("%d %d %d\n",x,dfn[x],low[x]);
}
void add_edge(int a,int b,int id){//a,b之間加一條邊 無向邊要加兩次
e[tot]=(node){b,head[a],id};
head[a]=tot++;
}
void get_union(int a,int b){
a=get(a);b=get(b);
if(a!=b)fa[a]=b;
}
int main(){
int i,j,k,a,b,c,en;
rd(n);rd(m);
for(i=1;i<=m;i++){
rd(a);rd(b);rd(c);
ed[i]=(edge){a,b,c,i};
}
sort(ed+1,ed+1+m,cmp);
for(i=1;i<=n;i++)fa[i]=i,head[i]=-1;
for(i=1;i<=m;i++){
for(j=i;j<=m;j++){
if(ed[j+1].c!=ed[i].c)break;
}
en=j;
for(j=i;j<=en;j++){
ed[j].a=a=get(ed[j].a);
ed[j].b=b=get(ed[j].b);
dfn[a]=0;dfn[b]=0;
low[a]=0;low[b]=0;
head[a]=-1;head[b]=-1;
}
for(j=i;j<=en;j++){
a=ed[j].a;b=ed[j].b;
if(a==b){ans[ed[j].id]=2;continue;}
add_edge(a,b,ed[j].id);
add_edge(b,a,ed[j].id);
}
for(j=i;j<=en;j++){
if(!dfn[ed[j].a])dfs(ed[j].a,-1);
if(!dfn[ed[j].b])dfs(ed[j].b,-1);
}
for(j=i;j<=en;j++){get_union(ed[j].a,ed[j].b);}
i=en;
}
for(i=1;i<=m;i++)sc(ans[i]);
return 0;
}</span>20160627離線賽/CodeForces 160D
