整數的因子和 ---TOJ 1089 Happy 2004

---

題意

---

題目鏈接：1089. Happy 2004
這個題目就是求出 2004Xmod29 的結果，其中1≤X≤10000000

Input
1
10000
0

---

Output
6
10

---

思路

---

明顯暴力解法肯定會超時， 數論問題首先要從整數的標準分解入手：

N=∏ki=1paii 其中 pi 是N 的質因子，ai 爲其次數。

例如： 12=22∗3
有了標準分解， 接着考慮 一個整數的是怎麼構成因數的，就是由 質因子及其冪 相互相乘得到的，具體來說就是 我們每次可以取出 pi 的不同次數，來構成因數，這樣就有 0,1,…ai ，共有(ai +1) 種選擇。 接着就是一個組合過程，看下面的式子：

∏ki=1(p0i+p1i+…+paii)

這個式子展開之後就是 所有的因子相加了 ，正是我們所求的~

下面就是求解這個式子結果了， 取模的話就直接分配進去按照二分冪 取摸，
不過這裏有個技巧：

∃l Al+xmod m=Axmod m 其中 l∈[0,m] 成立，

只需要求出循環節 l 即可， 最後加上餘下的那部分數字即可。2004的質因子爲2,3,167
2的冪關於29的循環節是28；
3的冪關於29的循環節是28；
167的冪關於29的循環節是21；
2,3,167的循環節內的和 mod 29 正好爲0；
因此只需要求出 循環節剩下的部分即可~

---

代碼

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
int n;
int main()
{
    while(cin>>n&&n)
    {
        long long a=0,b=0,c=0,t=1;
        for(int i=0; i<(2*n+1)%28;i++)
            a+=(long long)(pow(2.0,i))%29;

        for(int i=0;i<(n+1)%28;i++)
            b+=(long long)(pow(3.0,i))%29;

        for(int i=0;i<(n+1)%14;i++){// 這裏沒有直接使用pow 函數，考慮到pow(167,20) 會超範圍
            c+=t;
            t*=167;
            t%=29;
        }
        cout<<((a%29)*(b%29)*(c%29))%29<<endl;
    }
}