【網絡流之最小割模型】poj3469 BZOJ3144 UVA1212

1.poj3469
題目大意：有n 個任務，每個任務均可以在2個核上完成。其中，有m 對任務之間需要信息交換，即若這兩個任務在不同核上完成需要另花w 。求最小費用。

建立n 個節點表示任務，源點代表第一個核，匯點表示第二個核。第i 個點向源點連邊，容量爲ai ；向匯點連邊，容量爲bi 。若i,j 之間有信息交換，那麼i,j 之間連一條容量爲w 的無向邊。答案爲最小割。
如何理解？
對於沒有信息交換的任務自然是選擇花費少的那個。對於有信息交換的兩個任務，若選擇不同核，那麼在源點和匯點之間必有一條增廣路。
代碼就不附了，沒有什麼實現上的難度。

那麼問題來了，如果有不止兩個核腫麼辦？
2.BZOJ3144[hnoi2013]
和上面那個問題相似，只是相鄰的兩個任務完成的核不能超過d 。
將平面上的點分層。第k 層的點(i,j) 向下一層的點連邊，容量爲w(k+1,i,j) ，其中0<=k<n 。第n 層的點向匯點連邊，容量爲∞ ，源點向第0 層的點連邊，容量爲∞ 。第k 層的點向第k−d 層的鄰接點連邊，容量爲∞ 。
和上面那個理解方式相似，沒看懂的畫一畫圖。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#define MAXN 70005
#define MAXM 1000005
#define inf 2147483647
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;

struct node
{
    int v, cap, next;
}edge[MAXM];
int adj[MAXN], pos, x, y, z, a;
int s, t;
int d[MAXN], vd[MAXN];

inline void add(int a,int b,int c)
{
    edge[pos].v=b, edge[pos].cap=c, edge[pos].next=adj[a];
    adj[a]=pos;
    ++pos;
    edge[pos].v=a, edge[pos].cap=0, edge[pos].next=adj[b];
    adj[b]=pos;
    ++pos;
}

bool vis[MAXN];
queue<int>q;
void bfs()
{
    for(int i=0;i<t;++i)d[i]=inf;
    q.push(t);
    int u, v;
    while(!q.empty())
    {
        u=q.front();q.pop();
        vis[u]=0;
        for(int p=adj[u];~p;p=edge[p].next)
            if(edge[p^1].cap>0)
            {
                v=edge[p].v;
                if(d[v]>d[u]+1)
                {
                    d[v]=d[u]+1;
                    if(!vis[v]){q.push(v);vis[v]=1;}
                }
            }
    }
}

int aug(int u,int augco)
{
    if(u==t)return augco;
    int augc=augco, v, delta, mind=t+2;
    for(int p=adj[u];~p;p=edge[p].next)
        if(edge[p].cap>0)
        {
            v=edge[p].v;
            if(d[v]+1==d[u])
            {
                delta=aug(v,min(edge[p].cap,augc));
                augc-=delta, edge[p].cap-=delta, edge[p^1].cap+=delta;
                if(!augc||d[s]>t)return augco-augc;
            }
            mind=min(mind,d[v]);
        }
    if(augco==augc)
    {
        --vd[d[u]];
        if(!vd[d[u]])d[s]=t+1;
        else
        {
            d[u]=mind+1;
            ++vd[d[u]];
        }
    }
    return augco-augc;
}

int isap()
{
    bfs();
    for(int i=0;i<=t;++i)
        if(d[i]!=inf)++vd[d[i]];
    int ans=0;
    while(d[s]<=t)
        ans+=aug(s,inf);
    return ans;
}

const int dx[]={0,1,0,-1};
const int dy[]={1,0,-1,0};
int v[45][45][45];
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
    int d, tx, ty;
    memset(adj,-1,sizeof adj);
    scanf("%d",&d);
    for(int i=1;i<=z;++i)
        for(int j=0;j<x;++j)
            for(int k=0;k<y;++k)
                scanf("%d",&v[i][j][k]);
    for(int i=0;i<z;++i)
        for(int j=0;j<x;++j)
            for(int k=0;k<y;++k)
                add(i*x*y+j*y+k,(i+1)*x*y+j*y+k,v[i+1][j][k]);
    for(int i=d;i<z;++i)
        for(int j=0;j<x;++j)
            for(int k=0;k<y;++k)
                for(int kk=0;kk<4;++kk)
                {
                    tx=j+dx[kk], ty=k+dy[kk];
                    if(tx<x&&ty<y&&tx>=0&&ty>=0)
                        add(i*x*y+j*y+k,(i-d)*x*y+tx*y+ty,inf);
                }
    s=(z+1)*x*y;
    t=s+1;
    for(int i=0;i<x;++i)
        for(int j=0;j<y;++j)
            add(s,i*y+j,inf);
    for(int i=0;i<x;++i)
        for(int j=0;j<y;++j)
            add(z*x*y+i*y+j,t,inf);
    printf("%d\n",isap());
    return 0;
}

3.UVA1212
題目大意：有兩家公司在搶一批資源，一種資源只能賣給一個公司。每個公司有若干個訂單，每個訂單需要若干種資源同時支付P 。求最大利益。
這本是一個二分圖最優匹配問題，也可以用最小割來做。
x部：A公司的訂單。y部：B公司的訂單。若兩個公司中的訂單i,j 衝突，連邊容量爲∞ 。源點向x部連邊，容量爲該訂單的利潤；同理，y部向匯點連邊。
之後的最小割是最少要捨棄的訂單利潤之和，在那些衝突的訂單中選擇利潤少的。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#define MAXN 6005
#define MAXM 2000005
#define inf 2147483647
using namespace std;

int n, m, s, t, a, sum;
int d[MAXN], vd[MAXN], flag[300005];
int adj[MAXN], pos;
struct node
{
    int v, cap, next;
}edge[MAXM];

inline void add(int a,int b,int c)
{
    edge[pos].v=b, edge[pos].cap=c, edge[pos].next=adj[a];
    adj[a]=pos;
    ++pos;
    edge[pos].v=a, edge[pos].cap=0, edge[pos].next=adj[b];
    adj[b]=pos;
    ++pos;
}

bool in[MAXN];
void bfs()
{
    for(int i=0;i<t;++i)d[i]=inf;
    d[t]=0;
    queue<int>q;
    q.push(t);
    int u, v;
    while(!q.empty())
    {
        u=q.front();
        in[u]=0;
        q.pop();
        for(int p=adj[u];~p;p=edge[p].next)
        {
            if(edge[p^1].cap>0)
            {
                v=edge[p].v;
                if(d[v]>d[u]+1)
                {
                    d[v]=d[u]+1;
                    if(!in[v])in[v]=1, q.push(v);
                }
            }
        }
    }
}

int aug(int u,int augco)
{
    if(u==t)return augco;
    int v, delta, augc=augco, mind=t+2;
    for(int p=adj[u];~p;p=edge[p].next)
    {
        if(edge[p].cap>0)
        {
            v=edge[p].v;
            if(d[v]+1==d[u])
            {
                delta=aug(v,min(augc,edge[p].cap));
                augc-=delta, edge[p].cap-=delta, edge[p^1].cap+=delta;
                if(!augc||d[s]>t)return augco-augc;
            }
            mind=min(mind,d[v]);
        }
    }
    if(augco==augc)
    {
        --vd[d[u]];
        if(!vd[d[u]])d[s]=t+1;
        d[u]=mind+1;
        ++vd[d[u]];
    }
    return augco-augc;
}

int isap()
{
    bfs();
    memset(vd,0,sizeof vd);
    for(int i=0;i<=t;++i)
        if(d[i]!=inf)++vd[d[i]];
    int ans=0;
    while(d[s]<=t)
        ans+=aug(s,inf);
    return ans;
}

char w;
bool GET(int &t)
{
    t=0;
    if(w=='\n')return 0;
    do{w=getchar();if(w=='\n')return 0;}while(w<'0'||w>'9');
    do{t=t*10+w-'0';w=getchar();}while(w>='0'&&w<='9');
    return 1;
}

int main()
{
    int cas, CNT=0;
    scanf("%d",&cas);
    while(cas--)
    {
        memset(adj,-1,sizeof adj), pos=0;
        memset(flag,0,sizeof flag);
        scanf("%d",&n);
        s=0, sum=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            scanf("%d",&a);
            sum+=a;
            add(s,i,a);
            w=0;
            while(GET(a))
                flag[a]=i;
        }

        scanf("%d",&m);
        t=n+m+1;
        for(int j=1;j<=m;++j)
        {
            scanf("%d",&a);
            sum+=a;
            add(j+n,t,a);
            w=0;
            while(GET(a))
                if(flag[a])
                    add(flag[a],j+n,inf);
        }
        if(!CNT)printf("Case %d:\n",++CNT);
        else printf("\nCase %d:\n",++CNT);
        printf("%d\n",sum-isap());
    }
    return 0;
}