算法作業_25(2017.6.1第十五週)

最長公共子序列與最長公共子串（動態規劃問題）

一直不明白最長公共子串和最長公共子序列的區別，上網查了下，最長公共子串（Longest Common Substirng）和最長公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）的區別爲：子串是串的一個連續的部分，子序列則是從不改變序列的順序，而從序列中去掉任意的元素而獲得新的序列；也就是說，子串中字符的位置必須是連續的，子序列則可以不必連續。

分析：對於母串X=<x1,x2,⋯,xm>, Y=<y1,y2,⋯,yn>，求LCS與最長公共子串。假設 m<n， 對於母串X，我們可以暴力找出2m個子序列，然後依次在母串Y中匹配，算法的時間複雜度會達到指數級O(n∗2m)。顯然，暴力求解不太適用於此類問題。

動態規劃：假設Z=<z1,z2,⋯,zk>是X與Y的LCS， 我們觀察到如果xm=yn，則zk=xm=yn，有Zk−1是Xm−1與Yn−1的LCS；

                      如果xm≠yn則Zk是Xm與Yn−1的LCS，或者是Xm−1與Yn的LCS。

因此，求解LCS的問題則變成遞歸求解的兩個子問題。但是，上述的遞歸求解的辦法中，重複的子問題多，效率低下。改進的辦法——用空間換時間，用數組保存中間狀態，

方便後面的計算。這就是動態規劃（DP)的核心思想。

用二維數組c[i][j]記錄串x1x2⋯xi與y1y2⋯yj的LCS長度，則可得到狀態轉移方程

package Test;

public class Test01 {


	public int lcs(String str1,String str2){
		int len1 = str1.length();
		int len2 = str2.length();
		int [][]dp = new int [len1+1][len2+1];
		for(int i = 0 ;i <=len1;i++ ){
			for(int j = 0;j<=len2;j++){
				if (i==0 || j==0) {
					dp[i][j] = 0;
				}else if (str1.charAt(i-1)==str2.charAt(j-1)) {
					dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
				}else {
					dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] , dp[i][j-1]);
				}
			}
		}
		return dp[len1][len2]; 
	}
}

最長公共子串：子串是一種特殊的子序列，因此同樣可以用DP來解決

得到轉移方程：

c[i,j]=⎧⎩⎨⎪⎪0c[i−1,j−1]+10i=0 or j=0xi=yjxi≠yj

最長公共子串的長度爲 max(c[i,j]), i∈{1,⋯,m},j∈{1,⋯,n}

public int lcs2(String str1,String str2){
		int len1 = str1.length();
		int len2 = str2.length();
		int res = 0;
		int [][]dp = new int [len1+1][len2+1];
		for(int i = 0 ;i <=len1;i++ ){
			for(int j = 0;j<=len2;j++){
				if (i==0 || j==0) {
					dp[i][j] = 0;
				}else if (str1.charAt(i-1)==str2.charAt(j-1)) {
					dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
					res = Math.max(dp[i][j], res);
				}else {
					dp[i][j] = 0;
				}
			}
		}
		return res;
	}

⎪