最长公共子序列与最长公共子串(动态规划问题)
一直不明白最长公共子串和最长公共子序列的区别,上网查了下,最长公共子串(Longest Common Substirng)和最长公共子序列(Longest Common Subsequence,LCS)的区别为:子串是串的一个连续的部分,子序列则是从不改变序列的顺序,而从序列中去掉任意的元素而获得新的序列;也就是说,子串中字符的位置必须是连续的,子序列则可以不必连续。
分析:对于母串X=<x1,x2,⋯,xm>, Y=<y1,y2,⋯,yn>,求LCS与最长公共子串。假设 m<n, 对于母串X,我们可以暴力找出2m个子序列,然后依次在母串Y中匹配,算法的时间复杂度会达到指数级O(n∗2m)。显然,暴力求解不太适用于此类问题。
动态规划:假设Z=<z1,z2,⋯,zk>是X与Y的LCS, 我们观察到如果xm=yn,则zk=xm=yn,有Zk−1是Xm−1与Yn−1的LCS;
如果xm≠yn则Zk是Xm与Yn−1的LCS,或者是Xm−1与Yn的LCS。
因此,求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是,上述的递归求解的办法中,重复的子问题多,效率低下。改进的办法——用空间换时间,用数组保存中间状态,
方便后面的计算。这就是动态规划(DP)的核心思想。
用二维数组c[i][j]记录串x1x2⋯xi与y1y2⋯yj的LCS长度,则可得到状态转移方程
package Test;
public class Test01 {
public int lcs(String str1,String str2){
int len1 = str1.length();
int len2 = str2.length();
int [][]dp = new int [len1+1][len2+1];
for(int i = 0 ;i <=len1;i++ ){
for(int j = 0;j<=len2;j++){
if (i==0 || j==0) {
dp[i][j] = 0;
}else if (str1.charAt(i-1)==str2.charAt(j-1)) {
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
}else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] , dp[i][j-1]);
}
}
}
return dp[len1][len2];
}
}
最长公共子串:子串是一种特殊的子序列,因此同样可以用DP来解决
得到转移方程:
最长公共子串的长度为 max(c[i,j]), i∈{1,⋯,m},j∈{1,⋯,n}
public int lcs2(String str1,String str2){
int len1 = str1.length();
int len2 = str2.length();
int res = 0;
int [][]dp = new int [len1+1][len2+1];
for(int i = 0 ;i <=len1;i++ ){
for(int j = 0;j<=len2;j++){
if (i==0 || j==0) {
dp[i][j] = 0;
}else if (str1.charAt(i-1)==str2.charAt(j-1)) {
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
res = Math.max(dp[i][j], res);
}else {
dp[i][j] = 0;
}
}
}
return res;
}
⎪